Bayesian compressive sensing for identifying tonal acoustic modes of fan noise in the duct
-
摘要:
风扇噪声是大涵道比发动机的重要噪声源, 其可传播模态随频率增加而增多, 难以通过足够的传声器进行测量, 为此提出了一种用于风扇单音噪声模态识别的贝叶斯压缩感知方法来解决声模态识别中传声器数量不足的问题。管道内声场用概率模型描述, 模态识别的压缩感知逆问题用贝叶斯框架表示。基于贝叶斯压缩感知的模态识别方法能稀疏恢复未知模态系数解, 实现参数自适应调优。数值模拟和实验测试验证了贝叶斯压缩感知方法在模态识别中的有效性。结果表明, 贝叶斯压缩感知方法可以用比传统方法少56.3%的传声器准确识别目标模态。
Abstract:Fan noise is a significant noise source for large bypass ratio engines, and its propagatable modes increase with frequency, making it difficult to be measured by a sufficient number of microphones. A Bayesian compressive sensing method for fan tonal noise mode identification is proposed to solve the problem of insufficient number of microphones in acoustic mode identification. The sound field in the duct is described by a probabilistic model, and the inverse problem of compression perception for mode identification is represented by a Bayesian framework. The mode identification method based on Bayesian compressive sensing can sparsely recover unknown mode coefficient solutions and achieve parameter adaption. Numerical simulations and experimental tests verify the effectiveness of the Bayesian compressive sensing method in mode identification. The results show that the proposed method of mode identification can accurately identify the target modes with 56.3% fewer microphones than the conventional method.
-
引言
航空噪声问题是制约航空运输业发展的重要因素。发动机噪声是航空噪声的主要组成部分, 包括风扇噪声、喷流噪声、燃烧噪声等。为了降低航空发动机的噪声同时又降低燃油的消耗, 大涵道比涡扇发动机的被广泛使用, 风扇噪声已经成为主要的航空噪声源之一[1]。风扇噪声产生机理及其降噪技术的研究对未来低噪声航空发动机的设计具有重要意义[2]。
涵道风扇噪声可以用管道声学模态进行描述[3], 其声学模态可用于研究风扇噪声的物理机制、传播和辐射特性。模态识别是航空发动机风扇噪声的实验方法之一, 包括周向模态分析(AMA)[4]和径向模态分析(RMA)[5]。模态识别是一种基于传声器测得的声压识别管道内声学模态的方法, 采用壁挂式传声器阵列或径向耙用于测量管道中的声压[6]。为了避免声模态分解过程中的信号失真, 对均匀布置的环形传声器阵列的实际解决方案是使传声器的数量至少等于分析模态阶次的两倍[7]。随着声学模态数量的增加, 所需传声器的数量也会增加。实际应用中管道的安装位置有限, 传声器的数量通常是有限的。当高频风扇噪声传播模态的数量远远大于传声器的数量时, 无法准确地识别管道中的声学模态[8]。
一些学者从阵列优化的角度来解决声模态识别中传声器数量不足的问题。Rademaker等[7]通过使用稀疏阵列来测量进气口声压, 该阵列由100个传声器组成, 可以确定
m=−79 到m=+79 的模态。非均匀环形传声器阵列由于旁瓣的存在使得动态范围有限。也有学者应用周向环形阵列和轴向线性阵列的组合来减少所需的传声器数量[9], 周向和径向模态均可通过该阵列识别。旋转线阵列[10-11]或旋转径向耙[12]也可用于减少传声器的数量, 但其测量系统比固定阵列更复杂。为了进一步减少所需传声器数量并简化传声器阵列的设置, Yu等[13]尝试将基于
l1 最小化的压缩感知方法应用于模态识别, 当满足入射波模态在旋转模态中的稀疏条件时, 可以用少量的传声器识别模态。压缩感知技术已成功应用于周向模态识别和径向模态识别[14-16]。Hou等[17]提出了一种基于非凸稀疏正则化的压缩感知方法, 该方法使用广义极大极小凹(GMC)罚函数找到最优全局解的同时避免了对高值解的低估。Bai等[18]采用了l1/2 范数的稀疏求解方法识别管道声模态, 相比于l1 范数方法对阵列的约束更低, 方便实际测试中阵列的优化设计,但正则化参数需要经过精心设计以平衡强制稀疏性惩罚的影响, 在较高噪声水平和较高频率时难以找到最优的正则化参数。一些学者将模态识别的反问题重新定义为一个贝叶斯推理问题。Roncen等[19]使用贝叶斯推理来评估存在不确定性时的声学模态系数。Pereira等[20]应用迭代贝叶斯逆方法评估宽带噪声的模态幅值和声功率水平。这种贝叶斯方法减少了与阵列旁瓣相关的伪影, 改善了模态分布图的动态范围。Huang等[21]应用迭代贝叶斯方法评估单音噪声模态幅值, 解决了模态识别的欠定问题。Yu等[22]应用稀疏贝叶斯学习(SBL)进行单音噪声的模态识别, 解决了模态识别的欠定问题, 并证明了贝叶斯方法能够产生鲁棒、高度精确的稀疏解。上述贝叶斯方法应用在管道声模态具有一定优势, 能够稀疏恢复模态系数, 实现目标模态的准确识别。
贝叶斯压缩感知(BCS)最初是由Ji等[23]提出的, 最近被应用于传声器阵列处理的问题, 在声源定位方面显示出良好的潜力[24]。贝叶斯压缩感知方法可分为两个步骤[23,25], 一是推导出假设有先验和似然值的模型参数的后验分布; 二是使用证据最大化策略来学习超参数, 并自适应地将先验模型调整为稀疏模型。
本文提出了一种用于管道内风扇单音噪声模态识别的贝叶斯压缩感知方法。采用概率模型描述管内声场, 并用贝叶斯框架表示模态识别的压缩感知逆问题。模态系数假定为服从高斯混合模型的随机变量, 通过指定高斯比例混合模型中的超先验满足模态系数的稀疏性的假设。基于稀疏贝叶斯学习的压缩感知模态识别方法能稀疏恢复未知模态系数解, 并能实现参数自适应。基于管道中的声传播模型, 建立了压缩感知贝叶斯框架, 采用分层先验以满足模态系数的稀疏性假设。在证据最大化的估计方法下, 通过迭代自适应确定最优参数, 间接实现了对模态系数稀疏解的估计。通过仿真和压气机实验验证了贝叶斯压缩感知方法在模态识别中的有效性和优越性。
1. 管道声传播模型
根据经典的声传播理论, 硬壁圆柱管内的复声压
p(r,θ,z) 可以表示为许多线性波模态的叠加, 包括周向模态和径向模态[26]:p(r,θ,z)=+∞∑m=−∞+∞∑n=0a+mnJm(kmnr)ejmθejk+zz+a−mnJm(kmnr)ejmθejk−zz, (1) 其中,
p(r,θ,z) 表示在传声器位置(r,θ,z) 处的频域复声压。a+mn 和a−mn 分别表示(m,n) 阶前传播模态及反射波模态系数。Jm(⋅) 表示m 阶贝塞尔函数,j=√−1 表示虚数单位。k±z 是轴向波数:k±z=1β2(−Mzk0±√k20−β2k2mn), (2) 其中,
kmn=ξ(m,n)/R 为横向(或径向)波数, R为风管半径,ξ(m,n) 为由硬壁边界条件[2]得到的特征值;k0=ω/c0 为波数, 其中ω 为角频率,c0 为声速;Mz=v0/c0 是沿z方向的马赫数,v0 是管道内的平均流速;β2=1−M2z 是Prandtl-Glauert因子。只有当轴向波数k±z 为实数时, 声波才能沿着轴向方向传播, 否则模态会随着轴向距离的增加而呈指数衰减, 从而无法在管道内传播。管道半径为0.185 m、马赫数为0时, 不同频率下管道内的最大周向、径向和总模态数量如图1(a)所示。在给定的频率下, 只有有限数量的模态可以通过管道传播, 并且传播的模态数量随着频率的增加而增加。图1(b)为管道不同管道半径下的最大周向模态阶数, 最大周向模态数量随着管道半径的增加而增加。图1(c)为不同马赫数下的最大周向模态阶数, 最大周向模态数量随着马赫数的增加而增加。式(1)可简化为由周向模态叠加的线性波形式:
p(r,θ,z)=p(θ)=+∞∑m=−∞cm(r,z)ejmθ, (3) 式中,
cm(r,z) 包含了式(1)中的前传播模态a+mn 和反射波模态a−mn 。cm(r,z) 需在恒定的轴向和径向位置进行分解, 可以通过一个环形的传声器阵列实现, 它强调的是管道中的周向模态。实际测量的声压受到噪声干扰的影响, 考虑附加噪声, 式(3)可以写成矩阵形式:\boldsymbol{p}=\boldsymbol{\varPsi }{\boldsymbol{c}}_{0} + \boldsymbol{n} , (4) 其中,
\boldsymbol{p}\in {\mathbb{C}}^{{N}_{\text{mic}}\times 1} 为特定频率下的复声压向量;{\boldsymbol{c}}_{0}\in {\mathbb{C}}^{{N}_{m}\times 1} 是周向模态系数向量;\boldsymbol{\varPsi }\in {\mathbb{C}}^{{N}_{\text{mic}}\times {N}_{m}} 表示与频率无关的模态基矩阵, 该矩阵只和传声器的周向位置\theta 相关;\boldsymbol{n}\in {\mathbb{C}}^{{N}_{\text{mic}}\times 1} 是加性噪声。{N}_{\text{mic}} 是传声器的数量, 仅考虑周向模态的总模态数{N}_{m} 的维数等于2M + 1 ,M 是待分析的最高周向模态阶数。叶轮机械管道内声模态的传播和识别如图2所示。旋转的转子和定子叶片间的气流产生强烈的单音噪声和宽带噪声, 这些噪声通过管道传播, 包括前传播和反射波。声压通过一圈传声器阵列进行测量。模态识别问题为根据传声器所测得的声压信息
\boldsymbol{p} 及传声器阵列的位置信息\boldsymbol{\varPsi } , 逆解模态系数{\boldsymbol{c}}_{0} 。采用传统模态识别方法中的最小二乘法求解式(4):
{\widehat{\boldsymbol{c}}}_{0}=\text{arg}\underset{\mathrm{a}}{\text{min}}\parallel \boldsymbol{\varPsi }{\boldsymbol{c}}_{0}-\boldsymbol{p}{\parallel }_{2}^{2} . (5) 式(5)的解为
{\widehat{\boldsymbol{c}}}_{0}={\boldsymbol{\varPsi }}^{\dagger}\boldsymbol{p}={\left({\boldsymbol{\varPsi }}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{\varPsi }\right)}^{-1}{\boldsymbol{\varPsi }}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{p} , (6) 式中,
\dagger 表示矩阵的广义逆。当传播模数{N}_{m} 小于传声器数{N}_{\text{mic}} 时, 即使模态基矩阵的条件数足够小, 传统的最小二乘法也无法获得准确的模态识别结果。由图1可知, 频率越高, 可传播的周向模态数量就越高。当导通模态的数量较少时, 传声器的数量很容易满足采样定理, 可以用传统的最小二乘法识别声学模态。然而, 当风扇噪声的频率增加时, 管道中导通模态的数量急剧增加, 为了求解过程不欠定、结果不混叠, 需要许多传声器来测量管道中的声场。如果矩阵
\boldsymbol{\varPsi } 中的模态数量远远大于传声器的数量, 传统的方法将无法获得准确的模态识别结果。由转子和定子干涉产生的单音噪声的周向声学模态是稀疏的[3], 根据周向模态的稀疏特点, 压缩感知的方法可以很好地解决模态识别的混叠问题。2. 贝叶斯压缩感知管道声模态识别
在式(4)中,
\boldsymbol{c}=\left[{c}_{1}\text{,}{c}_{2},\cdots ,{c}_{{N}_{m}}\right] 是待求解的稀疏模态系数。压缩感知估计稀疏信号\boldsymbol{c} , 阵列的压缩感知测量值\widetilde {\boldsymbol{p}} 可描述为[13~18, 25]\widetilde {\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{p}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{\varPsi }\boldsymbol{c}=\boldsymbol{\varPhi }\boldsymbol{c} , (7) 其中,
\boldsymbol{\varPhi } = \boldsymbol{B}\boldsymbol{\varPsi } = \left[{\mathrm{\varphi }}_{1}\;\; \cdots \;\; {\mathrm{\varphi }}_{{\mathrm{N}}_{0}}\right] 为{N}_{0} \times {N}_{m} 压缩感知矩阵;\boldsymbol{B} 为{N}_{0}\times {N}_{\text{mic}} 测量矩阵;\boldsymbol{p}=\boldsymbol{\varPsi }\boldsymbol{c} 为等距传声器阵列采集的{N}_{\text{mic}}\times 1 的声压信号;\boldsymbol{\varPsi } 为{N}_{\text{mic}}\times {N}_{m} 的模态基矩阵;\boldsymbol{c} 为待求解的维度为{N}_{m}\times 1 的模态稀疏系数。假设进行{N}_{0} 次随机的压缩感知测量, 通常{N}_{0} < {N}_{m} , 模态系数{\boldsymbol{c}}_{0} 的求逆过程对于\boldsymbol{p}=\boldsymbol{\varPsi }{\boldsymbol{c}}_{0} 来说是欠定的。然而, 如果利用模态系数\boldsymbol{c} 的稀疏特性, 那么这种欠定问题可以通过经典的压缩感知解决, 采用最小化{l}_{1} 范数的正则化公式[23,25]:\widetilde {\boldsymbol{c}}=\mathrm{arg}\underset{\mathrm{c}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left\{\parallel \widetilde {\boldsymbol{p}}-\boldsymbol{\varPhi }\boldsymbol{c}{\parallel }_{2}^{2} + \rho \parallel \boldsymbol{c}{\parallel }_{1}\right\} . (8) 式(8)中的压缩感知公式可以看作是确定性正则化方法在模态识别中的应用。这样的传统压缩感知方法专注于点估计, 不提供不确定性的度量, 且无法实现参数自适应 [23]。与传统的声学重建场景相比, 管道内的测量环境更加复杂(如边界条件、传播介质、声源产生和测量不确定等), 需要考虑这种不确定性。然而, 贝叶斯方法可以应用于压缩感知中, 具有许多优势。首先, 作为一种概率方法, 将所有未知参数视为随机变量, 用概率方法解释基础模型中的不确定性, 从而使结果更加鲁棒; 其次, 贝叶斯的方法不需要手动选择参数, 能够实现参数自适应; 最后, 贝叶斯压缩感知方法可以更加准确地识别模态幅值。在本节, 压缩感知逆问题通过使用贝叶斯框架的概率方法来估计模态系数
\boldsymbol{c} 。2.1 管道声模态识别的贝叶斯框架
本节中,
\left[ \cdot \right] 表示概率密度函数(PDF)。例如,\left[\boldsymbol{c}\right] 表示模态系数向量\boldsymbol{c} 的PDF (先验);\left[\boldsymbol{c}|\widetilde {\boldsymbol{p}}\right] 是在压缩感知测量值\widetilde {\boldsymbol{p}} 的条件下\boldsymbol{c} 的PDF (后验);\left[\widetilde {\boldsymbol{p}}|\boldsymbol{c}\right] 是在\boldsymbol{c} 的条件下压缩感知测量值\widetilde {\boldsymbol{p}} 的PDF(似然)。\left[\widetilde {\boldsymbol{p}}\right] 是声压\widetilde {\boldsymbol{p}} 的边际似然函数(证据)。基于贝叶斯规则[27], 可以得到模态系数\left[\boldsymbol{c}\right] 的后验表达式:\left[\boldsymbol{c}\right|\widetilde {\boldsymbol{p}}]=\frac{\left[\widetilde {\boldsymbol{p}}\right|\boldsymbol{c}\left]\right[\boldsymbol{c}]}{\left[\widetilde {\boldsymbol{p}}\right]} . (9) 贝叶斯压缩感知采用具有层次先验的贝叶斯模型, 假设噪声
\boldsymbol{n} 的分布为零均值复高斯分布\left[\boldsymbol{n}\right]= {\mathcal{N}}_{\mathbb{C}}\left(\boldsymbol{n};0,{\lambda }^{-1}\boldsymbol{I}\right) , 其中{\lambda }^{-1} 为噪声方差值,\boldsymbol{I} 为单位矩阵。则似然函数\left[\widetilde {\boldsymbol{p}}\right|\boldsymbol{c}] 的表达式为\left[\widetilde {\boldsymbol{p}}\right|\boldsymbol{c},\lambda ]={\left(\frac{\lambda }{\pi }\right)}^{M}{\exp}\left\{-\lambda \parallel \widetilde {\boldsymbol{p}}-\boldsymbol{\varPhi }\boldsymbol{c}{\parallel }^{2}\right\}={\mathcal{N}}_{\mathbb{C}}\left(\widetilde {\boldsymbol{p}};\boldsymbol{\varPhi }\boldsymbol{c},{\lambda }^{-1}\boldsymbol{I}\right) , (10) 其中, 假设精度参数
\lambda 为伽马分布\left[\lambda \right]=\varGamma \left(\lambda |{a}_{0},{b}_{0}\right) (逆伽马分布与高斯分布共轭),{a}_{0} 为形状参数,{b}_{0} 为速率参数。稀疏诱导先验\left[\boldsymbol{c}\right] 是一种高斯比例混合(GSM)的分层先验模型[28]:[\boldsymbol{c}] = \prod_{i=0}^{N_m}{[}c_i]=\prod_{i=0}^{N_m}{\int{[}}c_i|\gamma _i][\gamma _i]\mathrm{d}\gamma _i (11) \left[{c}_{i}|{\gamma }_{i}\right]={\left(\pi {\gamma }_{i}\right)}^{-1}{\exp}\left\{-\frac{{c}_{i}^{2}}{{\gamma }_{i}}\right\}={\mathcal{N}}_{\mathbb{C}}\left({c}_{i};0,{\gamma }_{i}\right) , (12) 其中, 超参数
{\gamma }_{i} 为伽马分布\left[{\gamma }_{i}|{c}_{0},{d}_{0}\right]= \varGamma \left({\gamma }_{i}\right|{c}_{0},{d}_{0}) 。这样的分层先验模型使得先验\left[\boldsymbol{c}\right] 对应于student-t分布[28]。student-t是一个稀疏先验, 有利于模态系数解的稀疏恢复。2.2 模态系数解的最大后验估计
利用贝叶斯规则计算模态系数
\boldsymbol{c} 的近似后验密度:\left[\boldsymbol{c}\right|\widetilde {\boldsymbol{p}},\lambda ,\boldsymbol{\gamma }]=\frac{\left[\widetilde {\boldsymbol{p}}\right|\boldsymbol{c},\lambda \left]\right[\boldsymbol{c}\left|\boldsymbol{\gamma }\right]}{\int \left[\widetilde {\boldsymbol{p}}|\boldsymbol{c},\lambda \right]\left[\boldsymbol{c}|\boldsymbol{\gamma }\right]\mathrm{d}\boldsymbol{c}} . (13) 最大后验值(MAP)的形式如下:
\begin{split} \widehat{\boldsymbol{c}}=&\underset{\boldsymbol{c}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left[\boldsymbol{c}\right|\widetilde {\boldsymbol{p}},\lambda ,\boldsymbol{\gamma }]=\underset{\boldsymbol{c}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(-\mathrm{ln}[\widetilde {\boldsymbol{p}}|\boldsymbol{c},\lambda ]\left[\boldsymbol{c}\right|\boldsymbol{\gamma }\left]\right) =\\&\underset{\boldsymbol{c}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\parallel \widetilde {\boldsymbol{p}}-\boldsymbol{\varPhi }\boldsymbol{c}{\parallel }_{2}^{2} + {\lambda }^{-1}\parallel {\boldsymbol{\varLambda }}^{-\frac{1}{2}}\boldsymbol{c}{\parallel }_{2}^{2}\right), \end{split} (14) 其中,
\parallel {\boldsymbol{\varLambda }}^{-\frac{1}{2}}\boldsymbol{c}{\parallel }_{2}^{2}\doteq {\boldsymbol{c}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\varLambda }}^{-1}\boldsymbol{c} 。在该式中,\left[\boldsymbol{c}\right|\boldsymbol{\gamma }] 选择为复高斯分布使该MAP估计相当于经典的Tikhonov正则化。等式中的参数{\lambda }^{-1} 为Tikhonov正则化参数, 用来控制解的稳定性。贝叶斯框架的一个优点是提供了一个自动调优{\lambda }^{-1} 的解决方案。根据式(13), 模态系数\boldsymbol{c} 的近似后验密度为\begin{split} \left[\boldsymbol{c}|\widetilde {\boldsymbol{p}},\lambda ,\boldsymbol{\gamma }\right]=&\mathcal{N}\left(\boldsymbol{c};{\boldsymbol{\mu }}_{\boldsymbol{c}},{\boldsymbol{\varSigma }}_{\boldsymbol{c}}\right)\propto \mathrm{exp}\left\{-(\boldsymbol{c}-{\boldsymbol{\mu }}_{\boldsymbol{c}}{)}^{H}{\boldsymbol{\varSigma }}_{\boldsymbol{c}}^{-1}(\boldsymbol{c}-{\boldsymbol{\mu }}_{\boldsymbol{c}})\right\} =\\&\mathrm{exp}\left\{-({\boldsymbol{c}}^{H}{\boldsymbol{\varSigma }}_{\boldsymbol{c}}^{-1}\boldsymbol{c}-2{\boldsymbol{\mu }}_{\boldsymbol{c}}^{\boldsymbol{H}}{\boldsymbol{\varSigma }}_{\boldsymbol{c}}^{-1}\boldsymbol{c} + {\boldsymbol{\mu }}_{\boldsymbol{c}}^{\boldsymbol{H}}{\boldsymbol{\varSigma }}_{\boldsymbol{c}}^{-1}{\boldsymbol{\mu }}_{\boldsymbol{c}})\right\} . \end{split} (15) 由式(14)可以看出,
{\boldsymbol{\mu }}_{\boldsymbol{c}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\varSigma }}_{\boldsymbol{c}}^{-1} 为一次项系数,{\boldsymbol{\varSigma }}_{\mathrm{c}}^{-1} 为二次项系数。将式(10)和式(12)代入式(13), 有\begin{split}& \left[\boldsymbol{c}\right|\widetilde {\boldsymbol{p}}]\propto [\widetilde {\boldsymbol{p}}|\boldsymbol{c},\lambda ]\left[\boldsymbol{c}\right|\boldsymbol{\gamma }]\propto \mathrm{exp}\left\{-\lambda \parallel \widetilde {\boldsymbol{p}}-\boldsymbol{\varPhi }\boldsymbol{c}{\parallel }^{2}-{\boldsymbol{c}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\varLambda }}^{-1}\boldsymbol{c}\right\} =\\&\mathrm{exp}\left\{-\lambda \left({\widetilde {\boldsymbol{p}}}^{\mathrm{H}}\widetilde {\boldsymbol{p}}-{\widetilde {\boldsymbol{p}}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{\varPhi }\boldsymbol{c}-{\boldsymbol{c}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\varPhi }}^{\mathrm{H}}\widetilde {\boldsymbol{p}} + {\boldsymbol{c}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\varPhi }}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{\varPhi }\boldsymbol{c}\right)-{\boldsymbol{c}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\varLambda }}^{-1}\boldsymbol{c}\right\}=\\& \mathrm{exp}\left\{-\left[\lambda {\widetilde {\boldsymbol{p}}}^{\mathrm{H}}\widetilde {\boldsymbol{p}}-2\left(\lambda {\widetilde {\boldsymbol{p}}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{\varPhi }\right)\boldsymbol{c} + {\boldsymbol{c}}^{\mathrm{H}}\left(\lambda {\boldsymbol{\varPhi }}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{\varPhi } + {\boldsymbol{\varLambda }}^{-1}\right)\boldsymbol{c}\right]\right\}, \end{split} (16) 其中,
\boldsymbol{\varLambda }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\boldsymbol{\gamma }\right) 。如果{\lambda }^{-1} 和\boldsymbol{\varLambda } 通过迭代后已知, 则可以得到MAP的后验均值:{\boldsymbol{\mu }}_{\boldsymbol{c}}=\lambda {\boldsymbol{\varSigma }}_{\boldsymbol{c}}\boldsymbol{\varPhi },{\boldsymbol{\varSigma }}_{\boldsymbol{c}}={\left({\boldsymbol{\varLambda }}^{-1} + \lambda {\boldsymbol{\varPhi }}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{\varPhi }\right)}^{-1}. (17) 因此, 模态系数
\boldsymbol{c} 的点估计后验均值为\widehat{\boldsymbol{c}}={\lambda }_{\text{ML}}{\left({{\boldsymbol{\varLambda }}_{\text{ML}}}^{-1} + {\lambda }_{\text{ML}}{\boldsymbol{\varPhi }}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{\varPhi }\right)}^{-1}{\boldsymbol{\varPhi }}^{\mathrm{H}} . (18) 图3为贝叶斯压缩感知的层次结构图, 其中压缩感知测量值
\widetilde {\boldsymbol{p}} 与感知矩阵\boldsymbol{\varPhi } 已知, 其余参数未知, 均需要迭代更新。式(18)的求解问题变成了对超参数的学习, 这些超参数可以通过
\text{II} 型的最大似然(ML)[28]估计, 即\left({\lambda }^{-1},\boldsymbol{\gamma }\right)=\underset{{\lambda }^{-1} > 0,\boldsymbol{\gamma } > 0}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left[\widetilde {\boldsymbol{p}}\right|\lambda ,\boldsymbol{\gamma }]=\underset{{\lambda }^{-1} > 0,\boldsymbol{\gamma } > 0}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\int \left[\widetilde {\boldsymbol{p}}|\boldsymbol{c},\lambda \right]\left[\boldsymbol{c}|\boldsymbol{\gamma }\right]\mathrm{d}\boldsymbol{c} , (19) 对似然
\left[\widetilde {\boldsymbol{p}}\right|\lambda ,\boldsymbol{\gamma }] 取自然对数, 进而可以得到其超参数的代价函数:\begin{split} \mathcal{L}\left(\boldsymbol{\gamma },\lambda \right)=&\mathrm{ln}\boldsymbol{p}\left(\widetilde {\boldsymbol{p}}|\boldsymbol{\lambda },\boldsymbol{\gamma }\right)=\mathrm{ln}\int \mathrm{p}\left(\widetilde {\boldsymbol{p}}|\boldsymbol{c},\lambda \right)\mathrm{p}\left(\boldsymbol{c}|\boldsymbol{\gamma }\right)\mathrm{d}\boldsymbol{c}=\\&-\frac{1}{2}\left[{N}_{0}\mathrm{ln}2\pi + \mathrm{ln}|\boldsymbol{C}| + {\widetilde {\boldsymbol{p}}}^{\text{T}}{\boldsymbol{C}}^{-1}\widetilde {\boldsymbol{p}}\right] , \end{split} (20) 式中,
\boldsymbol{C}=\left({\lambda }^{-1}\boldsymbol{I} + \boldsymbol{\varPhi }{\boldsymbol{\varLambda }}^{-1}{\boldsymbol{\varPhi }}^{\mathrm{H}}\right) 。将该式代入式(19)则有:{\gamma }_{i}^{\text{new}}=\frac{1-{\gamma }_{i}{\mathit{\varSigma }}_{ii}}{{\mu }_{i}^{2}} , (21) 其中,
{\mu }_{i} 是式(17)中的第i 个后验均值,{\varSigma }_{ii} 是后验方差的第i 个对角线元素。噪声方差的迭代公式为\frac{1}{{\mathrm{\lambda }}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}}=\frac{{\|\widetilde {\boldsymbol{p}}-\boldsymbol{\varPhi }\boldsymbol{c}\|}_{2}^{2}}{{N}_{0}-{\varSigma }_{i}(1-{\gamma }_{i}{\varSigma }_{ii})} . (22) 贝叶斯压缩感知算法流程见表1, 通过式(21)及式(22), 完成对超参数的更新, 满足收敛阈值时代入式(18), 便可计算得到模态幅值解。该贝叶斯压缩感知的迭代算法也已被证明可以产生一个高度精确的稀疏线性回归表示[23,25]。
表 1 贝叶斯压缩感知算法流程1. 输入: 感知矩阵 \boldsymbol{\varPhi } , 压缩感知测量值 \widetilde {\boldsymbol{p}} 2. 输出: 超参数 \boldsymbol{\gamma } , \lambda , 模态系数 \boldsymbol{c}
3. 初始化: 超参数 {{\gamma }_{i}}^{\left(0\right)} , 噪声方差 {\lambda }^{\left(0\right)} , 收敛阈值 \epsilon
4. For k=0:K
5. 更新协方差 {\boldsymbol{\varSigma }}_{\boldsymbol{c}} 、模态识别的结果 \boldsymbol{c} ;
6. 更新参数 \lambda 、 \boldsymbol{\gamma } ;
7. 若收敛判据满足, 停止迭代;
8. End
9. \boldsymbol{c}={\boldsymbol{c}}^{(k + 1)}3. 仿真
本节验证了贝叶斯压缩感知的管道声模态识别方法的正确性和鲁棒性。通过蒙特卡罗仿真, 讨论了不同传声器数量和信噪比等因素对模态识别结果的影响。
3.1 模态识别的仿真设置
仿真设置为32个均匀布置的环形传声器阵列, 管道的半径为0.185 m。目标模态的模态系数设置为1 Pa, 参考声压为
2\times 1{0}^{-5} Pa, 则对应声压级幅值为94 dB, 其他模态(非目标模态)系数设置为0, 将预设的模态系数幅值代入式(3), 可以得到仿真的声压信号{\boldsymbol{p}}_{1} 。分析模态阶次为(−15, 15), 任选目标模态阶次为(−8, 0), 考虑以下3种案例:案例1: 采用最小二乘法, 用所有的32个传声器进行模态识别;
案例2: 8个均匀传声器阵列, 分别采用最小二乘法和稀疏贝叶斯学习方法进行模态识别;
案例3: 8个随机传声器阵列, 分别采用
{l}_{1} 压缩感知、GMC压缩感知、贝叶斯压缩感知方法进行模态识别, 蒙特卡罗仿真次数为1000次。由于仿真设置为均匀布置的32个传声器环形阵列, 不欠定时可分析的最大模态阶次为(−15, 15), 故案例1存在欠定问题。目标模态混叠现象产生在
{m}_{a}={m}_{t} + l{N}_{\text{mic}} 阶次[7], 其中{m}_{t} 为目标模态阶次,{m}_{a} 为混叠的模态阶次,l 为任意整数, 故目标模态不发生混叠的可识别模态范围为(−35, 24)。案例2仅有8个传声器, 不仅存在欠定问题, 还存在模态混叠问题。模拟的声压
{\boldsymbol{p}}_{1} 存在干扰噪声, 将背景噪声\boldsymbol{n} 设置为加性高斯白噪声, 其信噪比可定义为R_{\mathrm{sin}}=20 \log_{10} \frac{\left\|\boldsymbol{P}_{1}\right\|_{2}}{\|\boldsymbol{n}\|_{2}} , (23) 其中,
\parallel \cdot {\parallel }_{2} 是{l}_{2} 范数。本节中, 信噪比设置为20 dB。3.2 模态识别的仿真结果
模态识别的结果用柱状图表示, 如图4所示, 蓝色实心圆圈表示采用32个传声器的结果, 蓝色空心三角形表示采用8个均匀传声器的结果, 蓝色实心三角表示采用8个随机传声器的结果, 深蓝色表示目标模态的幅值, 浅蓝色表示非目标模态的幅值。
![]()
图 4 模态识别仿真结果 (a) 案例1, 最小二乘; (b) 案例2, 最小二乘; (c) 案例2, 稀疏贝叶斯学习; (d) 案例3,{l}_{1} 压缩感知; (e) 案例3, GMC压缩感知; (f) 案例3, 贝叶斯压缩感知图4(a)为最小二乘法在案例1时的模态识别仿真结果, 此时满足采样定理, 传统的最小二乘法可以准确地识别到目标声模态, 且模态幅值准确, 缺点是不可避免地识别出了较多的非目标模态。图4(b)为最小二乘法在案例2时的模态识别仿真结果, 由于欠定问题以及混叠问题, 错误识别了模态幅值, 目标模态被完全淹没在非目标模态中, 无法准确识别到目标声模态。图4(c)为稀疏贝叶斯学习在案例2时的模态识别仿真结果, 虽然在贝叶斯框架下, 稀疏贝叶斯学习解决了方程求解过程当中的欠定问题, 但当传声器数量过少时, 其结果仍然存在模态混叠的问题。图4(d)为
{l}_{1} 压缩感知在案例3时的模态识别仿真结果, 虽然能准确识别出目标模态的阶次, 但幅值被低估(该结论与Hou等[17]的结论类似), 绝对误差为4.7 dB。图4(e)为GMC压缩感知在案例3时的模态识别仿真结果, 其结果准确识别了目标模态阶次以及幅值, 绝对误差为2 dB, 值得注意的是, GMC结果的好坏依赖于参数的选择。图4(f)为贝叶斯压缩感知在案例3时的模态识别仿真结果, 其结果准确识别了目标模态阶次以及幅值, 较好地抑制了非目标模态的识别, 绝对误差仅为0.1 dB, 具有较高的识别精度, 克服了欠定和混叠的问题, 能够实现参数自适应。图5为
{l}_{1} 压缩感知、贝叶斯压缩感知以及GMC压缩感知在1000次蒙特卡罗模态识别结果的不同模态阶次的标准差, 可用来衡量每次随机选择传声器的模态识别结果的稳定性。随机选择8个传声器进行模态识别,{l}_{1} 压缩感知以及GMC压缩感知的结果在目标模态阶次−8处的标准差远大于贝叶斯压缩感知的标准差。贝叶斯压缩感知随机选择传声器, 1000次蒙特卡罗模态识别结果在(−15,15)阶次的模态范围内均具有小于0.05的识别标准差, 不同传声器选择的模态识别结果集中, 因此贝叶斯压缩感知的稳定性及成功率较高, 采用随机选择传声器的阵列能够成功识别声模态。信噪比设置为20 dB时, 随机选择8个传声器, 随机设置目标模态,
{l}_{1} 压缩感知、贝叶斯压缩感知以及GMC压缩感知的1000次蒙特卡罗模态识别结果的模态幅值相对误差如图6(a)所示, 贝叶斯压缩感知相比{l}_{1} 压缩感知及GMC压缩感知的模态识别相对误差小, 在1000次蒙特卡罗仿真下的模态幅值相对误差均小于10%。设置贝叶斯压缩感知的收敛阈值为\text{1}{\text{0}}^{{-4}} , 最大迭代次数为3000, 1000次蒙特卡罗仿真下贝叶斯压缩感知模态识别的迭代次数如图6(b)所示, 贝叶斯压缩感知每次蒙特卡罗仿真的运算迭代次数均小于200次, 少于最大迭代次数, BCS模态识别仿真结果收敛。3.3 管道声模态识别方法的影响因素分析
上述仿真结果表明, 贝叶斯压缩感知方法能够识别具有稀疏性的声模态。该算法的鲁棒性有待进一步分析。本节将讨论传声器的数量和信噪比等因素对模态识别结果的影响。
3.3.1 传声器数量对模态识别结果的影响
讨论传声器的数量对模态识别结果的影响, 分析的模态阶次范围为(−15,15)阶次, 信噪比分别设置为20 dB和10 dB, 在分析模态范围中随机选择1个目标模态, 目标模态与非目标模态的幅值设置与3.1节中相同。环形传声器阵列的数量为4~32个, 进行1000次蒙特卡罗模拟。定义一个模态系数误差用于评估模态识别的准确性:
{\text{err}}_c=\frac{\left\|\widehat{\boldsymbol{c}}_{\text {norm }}-\boldsymbol{c}_{\text {norm }}\right\|_2}{\left\|\boldsymbol{c}_{\text {norm }}\right\|_2}, (24) 其中,
\boldsymbol{c} 为预设的模态系数,\widehat{\boldsymbol{c}} 为已识别出的模态系数,{\boldsymbol{c}}_{\text{norm}}=\boldsymbol{c}/{\mathrm{max}}_{{c}_{i}\in \boldsymbol{c}}({c}_{i}) ,{\widehat{\boldsymbol{c}}}_{\text{norm}}=\widehat{\boldsymbol{c}}/{\mathrm{max}}_{{\widehat{c}}_{i}\in \widehat{\boldsymbol{c}}}({\widehat{c}}_{i}) 。在蒙特卡罗模拟中, 采用{l}_{1} 压缩感知方法、GMC压缩感知方法和贝叶斯压缩感知方法同时识别模态。这些模态识别方法仿真结果的幅值相对误差如图7所示。由图7可见, 随着传声器数量的增加, 模态识别精度有所提高, 这是因为增加传声器的数量在一定程度上缓解了模态识别的欠定以及混叠问题。GMC压缩感知方法以及贝叶斯压缩感知方法相比
{l}_{1} 压缩感知方法能够更为准确地识别(−15, 15)阶的目标模态。信噪比为20 dB时,{l}_{1} 压缩感知的方法在5~32个传声器的范围内, 幅值相对误差小于10%, 信噪比为10 dB时, 在整个传声器的范围内的幅值相对误差均大于22%。GMC压缩感知方法在信噪比为20 dB时, 在17~32个传声器的范围内, 误差小于10%, 17个随机传声器的误差为9.6%。在信噪比为10 dB时, GMC压缩感知方法在17~32个传声器的范围内, 误差小于10%, 16个随机传声器的误差为15.7%。如图7(a)所示, 信噪比为20 dB时, 贝叶斯压缩感知在9~32个传声器的范围内的误差小于2.7%, 8个随机的传声器时的误差为4.6%。如图7(b)所示, 信噪比为10 dB时, 贝叶斯压缩感知在9~32个传声器的范围内的误差均小于5%, 8个随机的传声器时误差为7%。贝叶斯压缩感知方法相比其他方法误差最小, 贝叶斯压缩感知实现了模态系数的稀疏恢复。当幅值误差小于10%时认为识别成功, 则在仿真中, 相较于经典方法的32个传声器, 贝叶斯压缩感采用8个传声器就可以成功识别目标声模态。3.3.2 信噪比对模态识别结果的影响
讨论信噪比对模态识别结果的影响, 以进一步验证贝叶斯压缩感知方法的鲁棒性。模态分析范围为(−15, 15)阶次, 随机选择一个目标模态, 使用32个均匀布置的环形传声器阵列, 进行1000次蒙特卡罗模拟。最小二乘和稀疏贝叶斯学习方法采用32个传声器中等间距的8个均匀的传声器阵列,
{l}_{1} 压缩感知、GMC压缩感知和贝叶斯压缩感知方法采用32个传声器中8个随机的传声器阵列。同时采用这些方法进行模态识别, 仿真结果的幅值相对误差如图8所示。从结果可以看出, 最小二乘法的误差较大, 其原因是, 最小二乘法作为一种利用广义逆
{\boldsymbol{\varPsi}}^{\dagger} 直接求解的方法, 在此仿真条件下存在欠定和模态混叠问题, 故而不可避免地错误识别模态。稀疏贝叶斯学习方法的结果比最小二乘方法的误差小, 其在贝叶斯框架下不存在求解方程的欠定问题, 但仍然受采样定理的限制, 存在模态混叠的问题, 故而在此仿真工况下会错误识别模态。{l}_{1} 压缩感知、GMC压缩感知和贝叶斯压缩感知的方法能够解决欠定和模态混叠的问题。{l}_{1} 压缩感知在17~30 dB范围内的误差小于9.7%, GMC压缩感知在11~30 dB范围内的误差小于10%, 这两种正则化压缩感知的方法结果的好坏依赖于参数的选择。贝叶斯压缩感知方法在压缩感知的框架下, 能够解决模态识别中的欠定以及模态混叠的问题, 同时作为概率方法, 可以解释底层模型中的不确定性, 故而更具有鲁棒性。在−15~30 dB范围内, 该方法比最小二乘、稀疏贝叶斯学习、{l}_{1} 压缩感知以及GMC压缩感知具有更好的模态识别精度。具体来说, 当信噪比大于7 dB时, 误差小于9.4%。4. 实验验证
对提出的贝叶斯压缩感知模态识别方法进行实验验证, 数据来自位于上海交通大学的1.5级轴流压气机试验台。
4.1 实验设置
1.5级轴流压气机试验台其主要包含一个一级半压气机试验段、一个全消声室、进气机匣以及试验台动力传动与排气模块。如图9所示, 管道半径为0.185 m, 压气机试验段由一台额定功率500 KW的变频电机驱动, 传动为增速齿轮箱(增速比6.67)。压气机为轴流形式, 额定转速为17000 r/min, 额定流量为8.3 kg/s, 压比为1.55, 叶尖马赫数为1.15。动叶弦长为63.26 mm, 叶顶间隙距离为0.6 mm (0.95%弦长), 平均轮毂比为0.76。本研究中使用的转子–定子配置包括32个进口导叶、29个旋转叶片和37个出口导叶。使用NI PXI 48通道数据采集系统采集数据, 硬件包含一个9槽PXIe-1078机箱, 2个PXIe-4499模块, 1个PXIe-6358模块, 一个PXI-8360模块以及相关线缆, PXIe机箱包含9槽, 本系统实际共用了4个插槽。用于数据采集的传声器阵列如图9所示, 32个平均分布的1/4 英寸B&K4944自由场传声器阵列安装在进气机匣的管口处。使用的压气机数据轴速分别为6000 r/min和10000 r/min, 相应的质量流量分别为3.0 kg/s和4.6 kg/s, 马赫数分别为0.08和0.13。
根据文献[3], 风扇单音噪声的周向模态具有稀疏的特性, 主导模态阶次m的表达式为
m=kV + nB , (25) 其中,
k 是任意整数,V 是定子叶片数量,n 是叶片通过频率(BPF)的第n 次谐波,B 是风扇叶片数量。前传声主要为旋转叶片和进口导叶的动静干涉噪声, 故假设B=29 ,V=32 。考虑模态范围(−15, 15), 则1BPF到2BPF的周向主导模态如表2所示。表 2 1BPF~2BPF在模态范围(−15, 15)的主导模态n BPF k m=32k + 29n 1 −1 −3 2 −2 −6 图10展示了两组通道四传声器信号的频谱, 由动静干涉产生的单音噪声具有一阶循环平稳特性, 可以根据其统计均值周期特性采用循环平稳信号处理技术 [29, 30]将轴速为6000 r/min以及10000 r/min风扇噪声的音调噪声提取出, 图中黑线表示原始信号, 红线表示宽频噪声, 蓝线表示单音噪声。图10(a)是轴速为6000 r/min的噪声频谱, 图10(b)是轴速为10000 r/min的噪声频谱。分析可知, 6000 r/min的2BPF为5800 Hz, 10000 r/min的1BPF为4833 Hz, 这与理论计算一致。6000 r/min信号的频谱中, 1100 Hz可能是小流量下的旋转不稳定(RI)频率, 其约为叶片通过频率的40%~60%[31]。
4.2 实验结果
贝叶斯压缩感知方法能够识别具有稀疏性的声模态。讨论不同工况下模态识别实验结果, 并考虑传声器的数量以及传声器的布局对模态识别结果的影响。
4.2.1 不同工况下模态识别实验结果
分别对轴速6000 r/min以及10000 r/min的频域信号进行模态识别, 分析模态阶次为(−15, 15), 考虑了以下3种情况:
情况1: 采用最小二乘法, 用所有的32个传声器进行模态识别;
情况2: 16个均匀传声器阵列, 分别采用最小二乘法和稀疏贝叶斯学习方法进行模态识别;
情况3: 16个随机传声器阵列, 分别采用
{l}_{1} 压缩感知、GMC压缩感知、贝叶斯压缩感知方法进行模态识别, 蒙特卡罗仿真次数为1000次。图11和图12展示了轴速6000 r/min的2BPF以及10000 r/min的1BPF模态识别结果。传统的最小二乘方法采用均匀布置的32个等距传声器阵列进行(−15, 15)阶次范围的模态识别, 情况1的结果如子图(a)所示, 在满足采样定理的情况下, 最小二乘法能够准确识别目标模态, 两种工况的主导模态分别为
m=-6 和m=-3 , 该主导模态与上述公式计算一致, 由于受到背景噪声干扰, 最小二乘的非目标模态的幅值较大。根据仿真结论, 最小二乘在不欠定时目标模态的识别是精确的, 因此可以子图(a)的目标模态幅值为标准, 即6000 r/min: 主导模态m=-6 , 标准模态幅值为104.4 dB; 10000 r/min: 主导模态m= -3 , 标准模态幅值为105.5 dB。![]()
图 11 模态识别结果(6000 r/min, 2BPF, (−15, 15)) (a) 情况1, 最小二乘; (b) 情况2, 最小二乘; (c) 情况2, 稀疏贝叶斯学习; (d) 情况3,{l}_{1} 压缩感知; (e) 情况3, GMC压缩感知; (f) 情况3, 贝叶斯压缩感知![]()
图 12 模态识别结果(10000 r/min, 1BPF, (−15, 15)) (a) 情况1, 最小二乘; (b) 情况2, 最小二乘; (c) 情况2, 稀疏贝叶斯学习; (d) 情况3,{l}_{1} 压缩感知; (e) 情况3, GMC压缩感知; (f) 情况3, 贝叶斯压缩感知图11和图12中, 子图(b)(c)对应情况2, 采用16个均匀等距的传声器阵列。子图(b)展示了最小二乘的模态识别结果, 由于存在欠定及模态混叠问题, 两个工况下均识别错误, 目标模态被淹没在干扰模态中。子图(c)展示了稀疏贝叶斯学习的模态识别结果, 模态被错误识别。子图(d)(e)(f)对应情况3, 随机采用16个传声器阵列。子图(d)为
{l}_{1} 压缩感知的模态识别结果, 两组工况下正则化参数均设置为0.7, 在6000 r/min工况下错误识别目标声模态, 在10000 r/min工况下可以较为准确地识别目标声模态, 但存在幅值低估的问题。子图(e)为GMC压缩感知的模态识别结果, 该方法可以较为准确地识别目标声模态, 在6000 r/min工况下, 与标准模态幅值的绝对误差为0.9 dB, 10000 r/min工况下, 绝对误差为0.3 dB。子图(d)(e)的结论与Hou等[17]的结论类似。贝叶斯压缩感知的结果能够准确识别目标模态, 在6000 r/min工况下与标准模态幅值的绝对误差为0.1 dB, 10000 r/min工况下绝对误差为0.1 dB, 能够实现模态系数解的稀疏恢复。贝叶斯压缩感知能够采用远小于最高分析模态阶次的传声器数量精准识别目标声模态, 解决管道声模态识别的欠定及混叠问题。图13展示了3种压缩感知方法的1000次蒙特卡罗模态识别结果的标准差。工况为6000 r/min时, 贝叶斯压缩感知在目标模态
m=-6 的标准差为0.04; 工况为10000 r/min时, 目标模态m=-3 的标准差为0.03。{l}_{1} 压缩感知和GMC压缩感知在目标模态处的标准差均高于贝叶斯压缩感知的标准差, 且大于0.05。在实际中, 贝叶斯压缩感知随机选择16个传声器, 目标模态的识别结果集中, 其标准差均小于0.05, 说明贝叶斯压缩感知的准确率及压缩感知的成功率较高。![]()
图 13 3种压缩感知方法的1000次蒙特卡罗模态识别结果的标准差 (a)工况: 6000 r/min, 主导模态m=-6 ; (b)工况: 10000 r/min, 主导模态m=-3 考虑不同压缩感知方法的主导声模态的幅值识别精度, 定义目标模态相对误差为
\text{err}_{\exp }=\frac{\left\|\widehat{\boldsymbol{c}}_m-\boldsymbol{a}_m\right\|_2}{\left\|\boldsymbol{a}_m\right\|_2}, (26) 式中,
\widehat {\boldsymbol{c}}_m 为压缩感知方法识别的主导声模态,{\boldsymbol{a}}_{\mathrm{m}} 为32个均匀传声器由最小二乘法识别的标准主导声模态幅值。{l}_{1} 压缩感知、贝叶斯压缩感知以及GMC压缩感知在两种工况下, 1000次蒙特卡罗模态识别结果的目标模态幅值相对误差如图14所示, 贝叶斯压缩感知相比{l}_{1} 压缩感知及GMC压缩感知的模态识别相对误差小, 在1000次蒙特卡罗仿真下的目标模态幅值相对误差均小于10%。表3为几种压缩感知方法在不同工况下的1000次蒙特卡罗仿真计算时间, 两种工况下, 贝叶斯压缩感知和GMC压缩感知方法的计算时间相近, 1000次运算次数下的计算时间均不超过50 s, 相较于
{l}_{1} 压缩感知大大减少了计算时间, 节省了{l}_{1} 压缩感知方法约87%的计算时间。表 3 几种压缩感知方法的计算时间方法 6000 r/min
工况用时 (s)10000 r/min
工况用时 (s)贝叶斯压缩感知 49.50 45.74 GMC压缩感知 47.67 47.21 {l}_{1} 压缩感知 400.05 383.12 4.2.2 传声器数量对重构精度的影响
以上验证了贝叶斯压缩感知方法能够用小于最高分析模态阶次的传声器数量准确地识别目标声模态, 本节进一步讨论传声器数量对模态识别结果的影响, 在多个传声器数量下进行模态识别。
采用轴速为10000 r/min, 主导模态为
m=-3 , 标准模态幅值为105.5 dB的数据, 随机布局传声器, 进行1000次蒙特卡罗仿真。模态识别的传声器数量分析范围为1~32个, 采用式(26)定义的目标模态相对误差来评估模态识别的准确性。不同传声器数量下,{l}_{1} 压缩感知、GMC压缩感知、贝叶斯压缩感知随机布局传声器的目标模态相对误差如图15(a)所示。随着传声器数量的增加,{l}_{1} 压缩感知、GMC压缩感知、贝叶斯压缩感知方法的目标模态相对误差均显著降低。在10~32个传声器范围内, 贝叶斯压缩感知的目标模态识别误差均小于{l}_{1} 压缩感知、GMC压缩感知;{l}_{1} 压缩感知、GMC压缩感知方法结果的优劣较依赖于参数的选择, 而贝叶斯压缩感知不需要人工调整参数。当目标模态相对误差小于10%时, 认为目标模态识别成功, 贝叶斯压缩感知的模态识别重构成功率如图15(b)所示。当传声器个数大于14个时, 贝叶斯压缩感知的误差均小于10%, 14个传声器的目标模态相对误差为9.37%, 当传声器数量大于23个时, 有近100%的成功率。相对于传统方法的32个传声器, 所提方法在14个传声器时即可成功识别目标声模态, 数量降低了56.3%; 23个传声器能准确识别目标声模态, 数量降低了28.1%。4.2.3 传声器布局策略对重构精度的影响
以上讨论了传声器数量对模态识别结果的影响, 相较于经典声模态分解方法, 贝叶斯压缩感知成功识别目标声模态数量可降低56.3%, 本节进一步分析传声器布局策略对重构精度的影响。比较传声器的随机布局和均匀布局两种策略对压缩感知重构精度的影响。
如图16所示, 红色圆点对应传声器布局的位置, 三子图分别为16个传声器均匀布局的阵列方案、14个传声器均匀布局的阵列方案以及24个传声器均匀布局的阵列方案。随机布局为从32个传声器中随机选择传声器的位置, 通过1000次蒙特卡罗仿真进行模态识别。分别构造压缩感知随机观测矩阵和均匀布局观测矩阵, 利用贝叶斯压缩感知方法进行模态识别分析对比。
采用轴速为10000 r/min, 主导模态为
m=-3 的数据。以经典声模态识别方法的结果作为参考, 其标准模态幅值为105.5 dB。图17为分别采用随机布局和均匀布局构造观测矩阵, 在传声器个数不同时贝叶斯压缩感知方法模态识别结果对比。对于均匀布局的情况, 子图(a)(c)的主导模态识别误差较大, 且主导模态识别错误, 非主导模态的幅值高于主导模态幅值。子图(b)没有识别出主导模态。由此可见, 在均匀布局方式下难以成功识别目标声模态。对于随机布局的情况, 子图(a)(b)(c)中, 贝叶斯压缩感知均能准确识别目标声模态, 其目标声模态绝对误差均小于0.5 dB。因此, 在构造观测矩阵时, 应采用随机非均匀布局策略, 其本质上满足了RIP条件的要求, 从而保证重构结果的准确性, 该结论与文献[32]一致。5. 结论
本文提出了一种用于管道风扇单音噪声模态识别的贝叶斯压缩感知方法, 可以利用少量的传声器识别具有稀疏性的高频目标声学模态。该方法通过迭代更新实现参数自适应, 无需手动调整。通过蒙特卡罗仿真讨论了传声器数量和信噪比对模态识别的影响, 并验证了该方法的正确性。压气机实验结果表明, 与传统方法相比, 这种随机非均匀阵列布局方法使用更少的传声器(至少14个, 比传统方法少56.3%)就能准确识别声模态, 在实际应用中具有一定的优势。
致谢 感谢上海交通大学高康博士、郐浩瑜博士以及哈尔滨工程大学张晨宇博士对本文工作的指导。
-
![]()
图 4 模态识别仿真结果 (a) 案例1, 最小二乘; (b) 案例2, 最小二乘; (c) 案例2, 稀疏贝叶斯学习; (d) 案例3,
{l}_{1} 压缩感知; (e) 案例3, GMC压缩感知; (f) 案例3, 贝叶斯压缩感知![]()
图 11 模态识别结果(6000 r/min, 2BPF, (−15, 15)) (a) 情况1, 最小二乘; (b) 情况2, 最小二乘; (c) 情况2, 稀疏贝叶斯学习; (d) 情况3,
{l}_{1} 压缩感知; (e) 情况3, GMC压缩感知; (f) 情况3, 贝叶斯压缩感知![]()
图 12 模态识别结果(10000 r/min, 1BPF, (−15, 15)) (a) 情况1, 最小二乘; (b) 情况2, 最小二乘; (c) 情况2, 稀疏贝叶斯学习; (d) 情况3,
{l}_{1} 压缩感知; (e) 情况3, GMC压缩感知; (f) 情况3, 贝叶斯压缩感知![]()
图 13 3种压缩感知方法的1000次蒙特卡罗模态识别结果的标准差 (a)工况: 6000 r/min, 主导模态
m=-6 ; (b)工况: 10000 r/min, 主导模态m=-3 表 1 贝叶斯压缩感知算法流程
1. 输入: 感知矩阵 \boldsymbol{\varPhi } , 压缩感知测量值 \widetilde {\boldsymbol{p}} 2. 输出: 超参数 \boldsymbol{\gamma } , \lambda , 模态系数 \boldsymbol{c}
3. 初始化: 超参数 {{\gamma }_{i}}^{\left(0\right)} , 噪声方差 {\lambda }^{\left(0\right)} , 收敛阈值 \epsilon
4. For k=0:K
5. 更新协方差 {\boldsymbol{\varSigma }}_{\boldsymbol{c}} 、模态识别的结果 \boldsymbol{c} ;
6. 更新参数 \lambda 、 \boldsymbol{\gamma } ;
7. 若收敛判据满足, 停止迭代;
8. End
9. \boldsymbol{c}={\boldsymbol{c}}^{(k + 1)}
下载: 导出CSV
表 3 几种压缩感知方法的计算时间
方法 6000 r/min
工况用时 (s)10000 r/min
工况用时 (s)贝叶斯压缩感知 49.50 45.74 GMC压缩感知 47.67 47.21 {l}_{1} 压缩感知 400.05 383.12
下载: 导出CSV
-
[1] 乔渭阳. 航空发动机气动声学. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2010 [2] 黄时春, 英基勇, 高翔, 等. 激发圆形管道内多阶声模态的扬声器阵列控制方法. 声学学报, 2022; 47(4): 521−530 DOI: 10.15949/j.cnki.0371-0025.2022.04.005 [3] Tyler J M, Sofrin T G. Axial flow compressor noise studies. SAE Technical Paper, 1962
[4] Sijtsma P, Brouwer H. Deconvolution of azimuthal mode detection measurements. J. Sound Vib., 2018; 422: 1−14 DOI: 10.1016/j.jsv.2018.02.029
[5] Tapken U, Pardowitz B, Behn M. Radial mode analysis of fan broadband noise. 23rd AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Denver, Colorado, USA, 2017: 3715
[6] 王良锋, 乔渭阳, 纪良, 等. 轴流风扇/压气机管道周向声模态的测量. 航空动力学报, 2014; 29(4): 917−926 DOI: 10.13224/j.cnki.jasp.2014.04.024 [7] Rademaker E, Sijtsma P, Tester B. Mode detection with an optimised array in a model turbofan engine intake at varying shaft speeds. 7th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference and Exhibit, Rome, Italy, 2001: 2181
[8] Spillere A, Braga D S, Seki L, et al. Inlet liner design for a fan noise test rig. 25th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Delft, The Netherlands, 2019: 2724
[9] Tapken U, Enghardt L. Optimisation of sensor arrays for radial mode analysis in flow ducts. 12th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (27th AIAA Aeroacoustics Conference), Cambridge, Massachusetts, USA, 2006: 2638
[10] 王良锋. 风扇管道声模态识别的实验及数值模拟研究. 博士学位论文, 西安: 西北工业大学, 2017 [11] 许坤波. 航空叶轮机管道声模态识别的数值及实验研究. 博士学位论文, 西安: 西北工业大学, 2018 [12] 高翔, 薛东文, 燕群, 等. 涡扇发动机风扇管道声模态识别测量方法. 科学技术与工程, 2020; 20(19): 7941−7946 [13] Yu W, Huang X. Compressive sensing based spinning mode detections by in-duct microphone arrays. Meas. Sci. Technol., 2016; 27(5): 055901 DOI: 10.1088/0957-0233/27/5/055901
[14] Bu H, Yu W, Kwan P W, et al. Wind-tunnel investigation on the compressive-sensing technique for aeroengine fan noise detection. AIAA J., 2018; 56(9): 3536−3546 DOI: 10.2514/1.J057261
[15] Bu H, Huang X, Zhang X. A compressive-sensing-based method for radial mode analysis of aeroengine fan noise. J. Sound Vib., 2020; 464: 114930 DOI: 10.1016/j.jsv.2019.114930
[16] Behn M, Tapken U. Investigation of sound generation and transmission effects through the ACAT1 fan stage using compressed sensing-based mode analysis. 25th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Delft, Netherlands, 2019: 2502
[17] Hou F, Chen J, Dong G. Compressed sensing with nonconvex sparse regularization and convex analysis for duct mode detection. Mech. Syst. Signal Process., 2020; 145: 106930 DOI: 10.1016/j.ymssp.2020.106930
[18] Bai B, Li X, Zhang T, et al. Nonconvex L1/2 minimization based compressive sensing approach for duct azimuthal mode detection. AIAA J., 2020; 58(9): 3932−3946 DOI: 10.2514/1.J059341
[19] Roncen R, Méry F, Piot E. Bayesian inference for modal identification in ducts with a shear flow. J. Acoust. Soc. Am., 2019; 146(4): 2645−2654 DOI: 10.1121/1.5130195
[20] Pereira A, Jacob M C. Modal analysis of in-duct fan broadband noise via an iterative Bayesian inverse approach. J. Sound Vib., 2022; 520: 116633 DOI: 10.1016/j.jsv.2021.116633
[21] Huang S, Yu L, Jiang W. Duct mode identification in a statistical model via the Iterative Bayesian Focusing. Mech. Syst. Signal Process., 2023; 186: 109842 DOI: 10.1016/j.ymssp.2022.109842
[22] Yu L, Bai Y, Wang R, et al. Sparse Bayesian learning with hierarchical priors for duct mode identification of tonal noise. J. Sound Vib., 2023; 560: 117780 DOI: 10.1016/j.jsv.2023.117780
[23] Ji S, Xue Y, Carin L. Bayesian compressive sensing. IEEE Trans. Signal Process., 2008; 56(6): 2346−2356 DOI: 10.1109/TSP.2007.914345
[24] 周明阳, 郭良浩, 闫超. 改进的贝叶斯压缩感知目标方位估计. 声学学报, 2019; 44(6): 961−969 DOI: 10.15949/j.cnki.0371-0025.2019.06.002 [25] Babacan S D, Molina R, Katsaggelos A K. Bayesian compressive sensing using Laplace priors. IEEE Tran. Image Process., 2009; 19(1): 53−63 DOI: 10.1109/tip.2009.2032894
[26] Doak P E. Excitation, transmission and radiation of sound from source distributions in hard-walled ducts of finite length (II): The effects of duct length. J. Sound Vib., 1973; 31(2): 137−174 DOI: 10.1016/S0022-460X(73)80372-4
[27] Tipping M E. Sparse Bayesian learning and the relevance vector machine. J. Mach. Learn. Res., 2001; 1: 211−244 DOI: 10.1162/15324430152748236
[28] Giri R, Rao B. Type I and type II Bayesian methods for sparse signal recovery using scale mixtures. IEEE Trans. Signal Process., 2016; 64(13): 3418−3428 DOI: 10.1109/TSP.2016.2546231
[29] Jurdic V, Joseph P, Antoni J. Investigation of rotor wake turbulence through cyclostationary spectral analysis. AIAA J., 2009; 47(9): 2022−2030 DOI: 10.2514/1.36728
[30] Antoni J, Leclère Q, Dinsenmeyer A, et al. Stand-alone extraction of cyclostationary broadband components from aeroacoustic signals. AIAA J., 2022; 60(3): 1817−1832 DOI: 10.2514/1.J060289
[31] Mailach R, Lehmann I, Vogeler K. Rotating instabilities in an axial compressor originating from the fluctuating blade tip vortex. J. Turbomach., 2001; 123(3): 453−460 DOI: 10.1115/1.1370160
[32] 李泽芃, 乔百杰, 文璧, 等. 基于压缩感知的多级风扇周向声模态重构. 航空动力学报, 2021; 36(7): 1388−1397 DOI: 10.13224/j.cnki.jasp.20200254
计量
- 文章访问数: 62
- HTML全文浏览量: 2
- PDF下载量: 19
