Modal solution and characteristics of decentralized velocity feedback controlled flow-excited thin plate acoustic vibration response
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摘要:
采用模态展开法推导了湍流边界层和分散式速度反馈控制共同作用下薄板的响应和声辐射, 给出了与分散式速度反馈控制增益系数、单元位置、数量和大小相关的模态阻尼的显示表达式。给定激励和参数的条件下, 通过与元素法的计算结果进行对比, 验证了模态展开法具有较高的计算效率和准确性。讨论了分散式速度反馈控制单元的布置方式和数量对模态阻尼的影响, 以及反馈控制单元的布置方式对薄板动能、辐射声功率和模态平均辐射系数的影响。数值分析结果表明反馈控制单元的数量和布放位置对控制效果影响显著, 反馈控制单元沿螺旋线布置能明显拓宽控制频带; 两种反馈控制单元布置方式, 在动能和辐射声功率控制较好的共振频率处, 除第一阶模态外, 模态平均声辐射效率随反馈增益的增大明显提高。
Abstract:The response and acoustic radiation of a turbulent boundary layer (TBL) induced thin plate under decentralized velocity feedback control are derived using the modal expansion method, in which an explicit expression for the modal damping related to the gain coefficient, unit location, number and size of the decentralized velocity feedback control is given. For the given excitation and parameters, the current approach was verified to have much higher computational efficiency in comparison with that of the finite unit method. The effects of the arrangement and number of decentralized velocity feedback control units on the modal damping, and the effects of the arrangement of the feedback control units on the kinetic energy and radiated sound power of the thin plate are discussed. The numerical analysis results show that the number and location of feedback control units have a significant effect on the control effect, and the arrangement of feedback control units along the helix can significantly broaden the control band, the average modal radiation efficiency of the two feedback control units increases with the increase of feedback gain except for the first mode at the resonant frequencies with better kinetic energy and radiated sound power control.
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Keywords:
- Modal expansion method /
- Turbulent boundary layer /
- Feedback control /
- Modal damping
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引言
湍流边界层(TBL)脉动压力与薄板相互作用引起的噪声及其控制是结构声中最具代表性的问题之一[1-3]。Graham[4-5]基于模态展开法求解了TBL激励下机身侧板以及带有装饰层的侧板的声振响应, 探讨了结构阻尼对声辐射的影响。Liu等[6]采用模态展开法计算了加筋薄板在TBL激励下的噪声, 结果表明垂直于来流方向的加强筋对辐射噪声有明显的影响。Liu等[7]还求解了TBL激励下飞机壁板的声振响应, 并与P180的飞行实测数据进行了比较。其中将模态激励项简化成二重积分, 适用各种TBL模型, 并显著提高了计算效率。增加结构阻尼是抑制薄板振动和声辐射的常见方法。研究表明, 无源阻尼抑制TBL引起的振动和噪声效果明显, 其中抑制振动的效果更佳, 说明结构阻尼增加了平均模态辐射效率[8]。Kou等[9-10]研究了结构阻尼和流速对平板声辐射效率的影响, 推导了包含阻尼影响的板结构声辐射效率公式, 修正了无限大板的Cremer公式[11]和有限大板的Leppington公式[12]; 发现在流体动力吻合频率以下, 声辐射效率随着流速增加而显著增加, 阻尼影响也更加显著。除无源阻尼外, 分散式速度负反馈控制也是一种增加结构阻尼的方法。即通过作动器输出与测试速度符号相反、大小成正比的力, 相当于在安装位置处附加等效的阻尼, 从而降低板的振动和声辐射[13-15]。Elliott等[16]和Jayachandran等[17]的仿真数据表明, 分布式速度反馈在较大增益系数范围内无条件稳定, 是一种相对鲁棒的控制方法。他们在研究中最初使用惯性作动器, 而惯性作动器产生足够大的激振力需要较大的质量, 在需要大力值的低频场合, 较为笨重。实际应用中, 采用与平板集成的压电片执行器更为方便。由于分散式速度反馈控制通常不方便获取结构的物理信息, 因此很难获得最优增益系数。为了解决这一问题, 曹寅等[18-19]提出了压电片虚吸收能的概念, 该概念利用最大虚吸收能获得最佳增益系数, 相对于动能或声辐射功率更容易测量。Gardonio等[20-22]采用元素法 (Element-based model) 从理论和实验角度分析了单极子声源激励下板的分散式速度反馈的控制效果。分散式速度反馈控制不仅适用于扩散声场激励, 也适用于TBL激励, Rohlfing等[23]通过理论与数值仿真研究了随机激励和TBL激励下速度负反馈控制电路在均匀板和轻量夹层板上的控制效果。
板上具有多个速度反馈控制单元的求解, 常采用元素法[16-23], 即将板划分成若干个小单元, 小单元的大小决定了计算的精度。若板上划分的小单元数目过多, 将导致矩阵元素的数目急剧增加, 一般的计算机无法承受巨大的计算量, 因此这种方法不适用较大板的求解或寻优。采用模态展开法计算板振动的反馈控制不仅能够避免复杂矩阵的运算, 而且受尺寸的限制较小。本文基于模态展开法求解了TBL激励下板上分散布置多个反馈控制单元时板的响应与辐射,得到了反馈增益与模态阻尼的显示表达式。该模型不仅将分散式反馈控制的阻尼机制以模态阻尼的形式给出, 而且板的尺寸较大时, 计算优势尤为显著。
1. 理论模型
考虑一个边界简支的薄板, 板的长度为
Lx , 宽度为Ly , 厚度为t , 两侧为空气介质, 其中一侧的空气沿x 方向的自由流速为U∞ , 板上放置R个由压电作动器和速度传感器组成的反馈控制单元, 如图1所示。空气的密度为ρ0=1.21 kg/m3 , 声速为c0=340 m/s 。假设在位置向量
{{\boldsymbol{r}}_{\text{0}}} 点处受到一法向力F的激励, 薄板在{\boldsymbol{r}} 点的位移响应为[7]{{W}}\left( {{{\boldsymbol{r}}},\omega } \right) = {{H}}\left( {{{\boldsymbol{r}}},{{{\boldsymbol{r}}}_0},\omega } \right) \cdot {{F}}\left( {{{{\boldsymbol{r}}}_0},\omega } \right), (1) 其中,
{{{\boldsymbol{r}}}_0} = \left( {{x_0},{y_0}} \right) ,{{\boldsymbol{r}}} = \left( {x,y} \right) ,{H}\left( {{{\boldsymbol{r}}},{{{\boldsymbol{r}}}_0},\omega } \right) 是{{\boldsymbol{r}}_{\text{0}}} 点处单位脉冲引起{\boldsymbol{r}} 点处的响应, 可表示为模态叠加的形式:H\left( {{{\boldsymbol{r}}},{{{\boldsymbol{r}}}_0},\omega } \right) = \sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{n = 1}^N {{H_{mn}}\left( \omega \right)} } {\varPhi _{mn}}\left( {{\boldsymbol{r}}} \right){\varPhi _{mn}}\left( {{{\boldsymbol r}_0}} \right), (2) 式中,
{H_{mn}}\left( \omega \right) 为模态振幅,{\varPhi _{mn}}\left( {\boldsymbol r} \right) 为模态振型函数:{\varPhi _{mn}}\left( {\boldsymbol r} \right) = \frac{2}{{\sqrt {{L_x}{L_y}} }}\sin \left( {{k_m}x} \right)\sin \left( {{k_n}y} \right), (3) 式中,
{k_m} = m\pi /{L_x},{\text{ }}{k_n} = n\pi /{L_y} , (m, n)为横向和纵向的模态数。含分散式速度反馈控制板的薄板在单位脉冲下的响应
H\left( {{{\boldsymbol{r}}},{{\boldsymbol r}_0},\omega } \right) 满足如下控制方程:\left( {D{\nabla ^4} - {m_{\text{p}}}{\omega ^2}} \right)H\left( {{{\boldsymbol{r}}},{{\boldsymbol r}_0},\omega } \right) - \sum\limits_{s = 1}^R {{{\varGamma \varLambda }}\left( {{{{\boldsymbol{r}}}_{\text{s}}}} \right)} = \delta \left( {{{\boldsymbol{r}}} - {{\boldsymbol r}_0}} \right), (4) 其中, D和
{m_{\text{p}}} 分别为板的刚度和面密度,{\nabla ^4} = {\partial ^4}/\partial {x^4} + 2{\partial ^4}/(\partial {x^2}\partial {y^2}) + {\partial ^4}/\partial {y^4} ,\omega 为角频率,{{\varGamma }} 为压电片激发的线力矩, 在速度负反馈控制中, 可以表示为负号、增益系数h和速度的乘积。{{\varLambda }}\left( {{{{\boldsymbol{r}}}_s}} \right) 为第s个压电片所激发线力矩的位置函数[24]:\begin{split} \varLambda\left({\boldsymbol{r}}_{s}\right)=&\left[\delta '\left({x}_{s}-{x}_{s1}\right)-\delta '\left({x}_{s}-{x}_{s2}\right)\right]\cdot\\&\left[h\left({y}_{s}-{y}_{s1}\right)-h\left({y}_{s}-{y}_{s2}\right)\right] + \\& \left[h\left({x}_{s}-{x}_{s1}\right)-h\left({x}_{s}-{x}_{s2}\right)\right]\cdot\\&\left[\delta '\left({y}_{s}-{y}_{s1}\right)-\delta '\left({y}_{s}-{y}_{s2}\right)\right]\text{, } \end{split} (5) 其中,
\left( {{x_s},{y_s}} \right) 为压电片中心点的位置坐标,{x_{s1}},{\text{ }}{x_{s2}}, {\text{ }}{y_{s1}},{\text{ }}{y_{s2}} 为第s个压电片的四条边的位置坐标。采用伽辽金法, 即在控制方程(4)两边同乘以模态振型[25], 并在各自区域内做二重积分, 得到
{m_p}\left[ {\omega _{mn}^2\left( {1 + {{\mathrm{j}}} \eta } \right) - {\omega ^2}} \right]{H_{mn}}\left( \omega \right) - {F_{pe,mn}} = 1, (6) 其中,
{F_{pe,mn}} 为压电作动器产生的模态力:{F_{pe,mn}} = \sum\limits_{s = 1}^R {{{\varGamma }}\int_0^b {\int_0^a {{{\varLambda }}\left( {{x_s},{y_s}} \right)} } {\varPhi _{mn}}\left( {{x_s},{y_s}} \right){\rm d}{x_s}{\rm d}{y_s}.} (7) 进一步求解得到
\begin{split} {F_{pe,mn}} = &\frac{{2{{\varGamma }}}}{{\sqrt {ab} }}\frac{{k_m^2 + k_n^2}}{{{k_m}{k_m}}}\sin ({k_m}{a_{pe}})\sin ({k_n}{b_{pe}})\cdot\\&\sum\limits_{s = 1}^R {\sin ({k_m}{x_s})\sin ({k_n}{y_s})} , \end{split} (8) 其中,
{a_{pe}} 和{b_{pe}} 为单个压电片的长和宽,R 为板上放置压电作动器的总数。将反馈控制考虑在内, 线力矩与模态速度成正比, 设增益系数为h, 则压电作动器激发的线力矩为
\varGamma = - {{\mathrm{j}}} \omega h\frac{2}{{\sqrt {ab} }}\sum\limits_{m' = 1}^M {\sum\limits_{n' = 1}^N {{H_{m'n'}}\left( \omega \right)\sin ({k_{m'}}{x_s})\sin ({k_{n'}}{y_s}).} } (9) 代入式(8), 得到压电作动器产生的模态力为
{F_{pe,mn}} = - \frac{{4{\mathrm{j}}\omega h{A_{mn}}}}{{ab}}\sum\limits_{m' = 1}^M {\sum\limits_{n' = 1}^N {{H_{m'n'}}\left( \omega \right)\sin ({k_{m'}}{x_s})\sin ({k_{n'}}{y_s}),} } (10) 其中
{A_{mn}} = \frac{{k_m^2 + k_n^2}}{{{k_m}{k_m}}}\sin ({k_m}{a_{pe}})\sin ({k_n}{b_{pe}})\sum\limits_{s = 1}^R {\sin ({k_m}{x_s})\sin ({k_n}{y_s})} . (11) 因此
\begin{split}& {m_p}\left[ {\omega _{mn}^2\left( {1 + {{\mathrm{j}}} \eta } \right) - {\omega ^2}} \right]{H_{mn}}\left( \omega \right) + \frac{{4{{\mathrm{j}}} \omega h{A_{mn}}}}{{ab}}\cdot\\&\quad\sum\limits_{m' = 1}^M {\sum\limits_{n' = 1}^N {{H_{m'n'}}\left( \omega \right)\sin ({k_{m'}}{x_s})\sin ({k_{n'}}{y_s})} } = 1. \end{split} (12) 模态之间互辐射的影响主要体现在声振响应的非共振频率处, 对于共振频率处几乎没有影响, 因此对于总响应和声辐射的贡献可以忽略[26-27]。本文所计算的频率范围内模态较为稀疏, 模态与模态之间的耦合影响亦可以忽略。忽略模态互辐射的影响后, 式(12)可以简化为
\begin{split}& {m_p}\left[ {\omega _{mn}^2\left( {1 + {{\mathrm{j}}} \eta } \right) - {\omega ^2}} \right]{H_{mn}}\left( \omega \right) +\\&\quad \frac{{4{{\mathrm{j}}} \omega h{A_{mn}}}}{{ab}}{H_{mn}}\left( \omega \right)\sin ({k_m}{x_s})\sin ({k_n}{y_s}) = 1. \end{split} (13) 因此单位脉冲激励下板的模态振幅可以写为
{H_{mn}}\left( \omega \right) = \frac{1}{{{m_p}\left[ {\omega _{mn}^2\left( {1 + {{\mathrm{j}}} \eta } \right) - {\omega ^2}} \right] + {{\mathrm{j}}} \omega h\dfrac{4}{{ab}}{B_{mn}}}}, (14) 式中,
{B_{mn}} = {A_{mn}}\sin ({k_m}{x_s})\sin ({k_n}{y_s}) ,{\omega _{mn}} 为板的固有频率:{\omega _{mn}} = \sqrt {\frac{D}{{{m_p}}}} \left( {k_m^2 + k_n^2} \right). (15) 可将式(14)进一步写为
{H_{mn}}\left( \omega \right) = \frac{1}{{{m_p}\left[ {\omega _{mn}^2\left( {1 + {{\mathrm{j}}} \left( {\eta + {\eta _{a{\text{c}}}}} \right)} \right) - {\omega ^2}} \right]}}, (16) {\eta _{ac}} = \frac{{4h\omega }}{{ab{m_p}\omega _{mn}^2}}{B_{mn}}, (17) 其中,
\eta 为薄板的结构阻尼,{\eta _{ac}} 为分散式反馈控制的模态阻尼。式(17)表明速度负反馈控制相当于增加了模态的阻尼, 本质上是一种阻尼控制, 其大小与反馈增益系数和系数{B_{mn}} 成正比, 系数{B_{mn}} 与压电片的位置、数量和大小有关。板上任意两点
{{\boldsymbol{r}}_1} 和{{\boldsymbol{r}}_2} 的位移响应的互谱密度表示为[6]\begin{split} {S_{ww}}\left( {{{{\boldsymbol{r}}}_1},{{{\boldsymbol{r}}}_2},\omega } \right) =& \int_S \int_S {S_{pp}}\left( {{{{\boldsymbol{r}}}_{01}} - {{{\boldsymbol{r}}}_{02}},\omega } \right){H^*}\left( {{{{\boldsymbol{r}}}_1},{{{\boldsymbol{r}}}_{01}},\omega } \right)H\left( {{{{\boldsymbol{r}}}_2},{{r}_{02}},\omega } \right){\rm d}{{{\boldsymbol{r}}}_{01}}{\rm d}{{{\boldsymbol{r}}}_{02}} = \\& {\varPhi _{PP}}\left( \omega \right)\sum\limits_{m = 1}^M \sum\limits_{n = 1}^N {{{\left| {{H_{mn}}\left( \omega \right)} \right|}^2}{\varPhi _{mn}}\left( {{{{\boldsymbol{r}}}_1}} \right){\varPhi _{mn}}\left( {{{{\boldsymbol{r}}}_2}} \right){J_{{\text{mn}}}}\left( \omega \right),} \end{split} (18) 其中
{J_{{\text{mn}}}}\left( \omega \right) = \int_S {\int_S {{S_{pp}}\left( {{{{\boldsymbol{r}}}_{01}} - {{{\boldsymbol{r}}}_{02}},\omega } \right){\varPhi _{mn}}\left( {{{{\boldsymbol{r}}}_{01}}} \right){\varPhi _{mn}}\left( {{{r}_{02}}} \right){\rm d}{{{\boldsymbol{r}}}_{01}}{\rm d}{{{\boldsymbol{r}}}_{02}}} } . (19) 上式可定义为湍流边界层激励与薄板的耦合系数, 与模态辐射效率的计算类似, 可通过坐标变换将四重积分简化为二重积分:
{J_{mn}}\left( \omega \right) = \frac{1}{{{k_m}{k_n}}}J_1^{mn} + J_2^{mn} + \frac{1}{{{k_m}}}J_3^{mn} + \frac{1}{{{k_n}}}J_4^{mn}, (20) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {J_1^{mn}} \\ {J_2^{mn}} \\ {J_3^{mn}} \\ {J_4^{mn}} \end{array}} \right\} = \int_0^b {\int_0^a {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\left( {a - {\xi _x}} \right)\left( {b - {\xi _y}} \right)} \\ {\left( {b - {\xi _y}} \right)} \\ {\left( {a - {\xi _x}} \right)} \end{array}} \right\}} } \cdot \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {k_m}{\xi _x} \cdot \sin {k_n}{\xi _y}} \\ {\cos {k_m}{\xi _x} \cdot \cos {k_n}{\xi _y}} \\ {\sin {k_m}{\xi _x} \cdot \cos {k_n}{\xi _y}} \\ {\cos {k_m}{\xi _x} \cdot \sin {k_n}{\xi _y}} \end{array}} \right\} \cdot {S_{pp}}\left( {{\xi _x},{\xi _y},\omega } \right){\rm d}x{\rm d}y, (21) 其中,
\left( {{\xi _x},{\xi _y}} \right) 为两坐标向量{{{\boldsymbol{r}}}_{01}} 与{{{\boldsymbol{r}}}_{02}} 的差,{S_{pp}}\left( {{\xi _x},{\xi _y},\omega } \right) 为Corcos模型[28]给出的湍流边界层壁面脉动压力相关函数的拟合公式, 即\begin{split}& {S_{pp}}\left( {{\xi _x},{\xi _y},\omega } \right) = {\varPhi _{pp}}\left( \omega \right)\exp \left( { - {{{\varGamma _1}\omega {\xi _x}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\varGamma _1}\omega {\xi _x}} {{U_c}}}} \right. } {{U_c}}}} \right) \cdot \\&\quad\exp \left( { - {{{\varGamma _2}\omega {\xi _y}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\varGamma _2}\omega {\xi _y}} {{U_c}}}} \right. } {{U_c}}}} \right)\cos \left( {{{\omega {\xi _x}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega {\xi _x}} {{U_c}}}} \right. } {{U_c}}}} \right), \end{split} (22) 其中,
{\varPhi _{pp}}\left( \omega \right) 为湍流边界层脉动压力的自功率谱密度, 参数{\varGamma _1} 和{\varGamma _2} 为Finnveden等[29]建议的值, 分别为0.116和0.7, 对流速度{U_c} 近似为自由流速的分数{U_c} = 0.7{U_\infty } 。当
{{{\boldsymbol{r}}}_1} = {{{\boldsymbol{r}}}_2} 时, 可得到位移响应的自谱密度, 即{S_{WW}}\left( {{{\boldsymbol{r}}},\omega } \right) = {\varPhi _{PP}}\left( \omega \right)\sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{n = 1}^N {{{\left| {{H_{mn}}\left( \omega \right)} \right|}^2}\varPhi _{mn}^2\left( {\boldsymbol r} \right){J_{{\text{mn}}}}\left( \omega \right).} } (23) 由此可得到板的动能为
{{S}_{EE}}\left( \omega \right) = \frac{{{m_e}}}{2}{\omega ^2}\sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{n = 1}^N {{{\left| {{H_{mn}}\left( \omega \right)} \right|}^2}{J_{{\text{mn}}}}\left( \omega \right)} } , (24) 辐射声功率为
{{S}_{PP}}\left( \omega \right) = {\rho _0}{c_0}{\omega ^2}\sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{n = 1}^N {{{\left| {{H_{mn}}\left( \omega \right)} \right|}^2}{\sigma _{mn}}{J_{{\text{mn}}}}\left( \omega \right)} } , (25) 其中,
{\sigma _{mn}} 为辐射效率:{\sigma _{mn}} = \dfrac{{64{k^2}ab}}{{{\pi ^6}{m^2}{n^2}}}\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^{{\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. } 2}} {{{\left\{ {\dfrac{{\begin{array}{*{20}{c}} {\cos } \\ {\sin } \end{array}\left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {\cos } \\ {\sin } \end{array}\left( {\dfrac{\beta }{2}} \right)}}{{{{\left[ {{{\left( {\dfrac{\alpha }{{m\pi }}} \right)}^2} - 1} \right]}^2}{{\left[ {{{\left( {\dfrac{\beta }{{n\pi }}} \right)}^2} - 1} \right]}^2}}}} \right\}}^2}\sin \theta {\mathrm{d}}\theta {\mathrm{d}}\varphi } } , (26) 其中,
\alpha = ka\sin \theta \cos \varphi ,{\text{ }}{\kern 1pt} \beta = kb\sin \theta \sin \varphi 。式(26)中弦函数的选取由横向模态和纵向模态的奇偶性决定, 当m 是奇数时, 取\cos (\alpha /2) , 当m 是偶数时, 取\sin (\alpha /2) ; 当n 是奇数时, 取\cos (\beta /2) , 当n 是偶数时, 取\sin (\beta /2) 。湍流边界层激励下薄板的模态平均声辐射效率, 是所有振动模态叠加所得的声辐射能量与振动能量之比, 通常可表示为
\sigma = \frac{{\displaystyle\sum\limits_{m = 1}^M {\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^N {{\sigma _{mn}}{J_{mn}}\left( \omega \right){{\left| {{H_{mn}}\left( \omega \right)} \right|}^2}} } }}{{\displaystyle\sum\limits_{m = 1}^M {\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^N {{J_{mn}}\left( \omega \right){{\left| {{H_{mn}}\left( \omega \right)} \right|}^2}} } }}. (27) 2. 模型验证
为了验证本文提出的模态展开法求解薄板反馈控制的准确性, 考虑了与元素法[23]具有相同参数和激励的铝板。板长0.278 m, 宽0.247 m, 厚1.6 mm, 板上均匀布置16个压电控制单元, 压电片的长为25 mm, 宽为25 mm, 如图2所示。图3所示为两种模型的计算结果对比。从图中可知两种模型的计算结果具有较好的一致性。模态展开法的计算速度要明显快于元素法, 以计算板的辐射声功率为例, 模态展开法用时677 s, 元素法用时13012 s, 约是模态展开法的18倍, 所使用的计算机为六核十二线程、内存为32G, 两种模型的计算用时均不包含建模时间, 元素法的计算网格为30 × 30, 模态展开法计算了30 × 30阶模态。
3. 反馈控制单元的模态阻尼及控制效果
速度负反馈控制即阻尼控制, 该机制主要体现在共振频率处。因此, 在共振频率(
\omega = {\omega _{mn}} )处, 式(17)可进一步写为{\eta _a} = \frac{{4h}}{{ab{m_p}\omega {}_{mn}}}{B_{mn}}. (28) 由式(27)中可知, 在板长0.55 m, 宽0.5 m, 厚1 mm, 自由流速为225 m/s的情况下, 共振点处反馈控制的模态阻尼与压电作动器的布放位置有关, 并且与增益系数成正比关系。为了对比反馈控制单元布置在节点线上和错开节点线布置的控制效果, 现考虑两种反馈控制单元的布置方式, 均匀布置和螺旋线布置, 均匀布置为4行4列等间隔布置, 螺旋线布置时, 反馈控制单元沿螺旋线布置, 螺旋线方程见式(28),
{A_l} 的初始值为0.03,{t_l} 从0开始, 间隔为0.36\pi , 各反馈控制单元中心点位置坐标如表1所示。两种布置方式如图4所示。表 1 反馈控制单元中心点的位置坐标1 2 3 4 5 6 7 8 x (m) 0.2835 0.3165 0.3051 0.2411 0.1974 0.2449 0.3475 0.3821 y (m) 0.2212 0.2436 0.2948 0.3066 0.2423 0.1652 0.1782 0.2891 9 10 11 12 13 14 15 16 x (m) 0.2862 0.1559 0.1513 0.3011 0.4423 0.3973 0.1955 0.0651 y (m) 0.3755 0.3197 0.1651 0.0901 0.2023 0.3901 0.4313 0.2556 \left\{ \begin{gathered} x = {A_l}\cos ({t_l} + 5) + 0.275, \\ y = {A_l}\sin ({t_l} + 5) + 0.25, \\ {A_l} = {A_l} + 0.012. \\ \end{gathered} \right. (29) 根据反馈控制单元的布置位置, 可以计算这两种布置方式的模态阻尼系数。图5是增益系数为40时, 模态阻尼系数随横向和纵向模态的变化, 从图5(a)中可知, 反馈控制单元均匀布置时, 模态阻尼系数的大小随着模态阶数的增大呈现下降的趋势, 在5的倍数阶模态的模态阻尼接近于0, 即在这些模态处没有阻尼效果, 这是因为反馈控制单元4行4列均匀布置时, 反馈控制单元刚好布置在(5,5)阶模态的节线上。从图5(b)中可知, 反馈控制单元沿螺旋线布置时, 模态阻尼的大小随着模态阶数的增大也呈现下降趋势, 但是模态阻尼在各阶模态都显示出了较好的阻尼特性。
在板长0.55 m, 宽0.5 m, 厚1 mm, 自由流速为225 m/s的情况下, 通过分析反馈控制单元的布置方式可知, 螺旋线布置能明显改善反馈控制单元的模态阻尼, 使各阶模态都能表现出阻尼特性。分析反馈控制单元的数量对模态阻尼的影响, 比较16个、9个和4个反馈控制单元沿螺旋线布置时有源阻尼在各阶模态的分布。对比图5 (b)和图6可知, 随着反馈控制单元数量的减少, (1,1)阶模态的阻尼随之降低, 整体的模态阻尼也有所降低。当反馈控制单元的布置方式一定时, 模态阻尼与反馈控制单元的数量近似呈线性关系。
由以上结果可知, 反馈控制单元均匀布置和沿螺旋线布置时, 阻尼特性有较大的差异。图7给出了16个反馈控制单元均匀布置和螺旋线布置时板的动能和辐射声功率。反馈控制单元均匀布置时, 在5的倍数阶模态的控制效果较差, 主要是因为这些模态处的模态阻尼系数较小。而反馈控制单元沿螺旋线布置时, 因为在(1,1)阶的模态阻尼有所提高, 并且各阶模态都有良好的阻尼特性, 既改善了(1,1)阶模态的控制效果, 又拓宽了反馈控制单元的控制频带, 使得中高频处的控制效果得到改善。(1,2)和(2,1)阶模态的辐射声功率较小, 是因为(1,2)和(2,1)阶模态的辐射系数较小。
由图7可知, 分散式速度负反馈显著降低了部分模态的响应和辐射声功率, 但通常两者降低的幅度并不相同。这表明薄板的模态平均声辐射效率可能会因为速度负反馈的存在而变化。图8为反馈控制单元均匀布置和沿螺旋线布置时的模态平均声辐射效率, 反馈控制单元均匀布置时, 随着反馈增益的增加, 在40 ~ 230 Hz频带内的模态平均声辐射效率明显提高, 而(1,1)阶和5的倍数阶模态的平均辐射效率没有明显变化, 这是因为反馈控制单元对5的倍数阶模态的动能和辐射声功率的控制效果较差, 而 (1,1)模态为整体运动, 向前和向后运动的介质不存在相互抵消, 额外的阻尼不会影响向前和向后运动介质的抵消程度, 所以模态平均声辐射效率没有发生变化, 这与结构阻尼的影响机制一致[30]。当反馈控制单元沿螺旋线布置时, 除(1,1)阶模态外, 模态平均声辐射效率随着反馈增益的增大明显提高。
4. 结论
采用模态展开法求解TBL激励下薄板的分散式反馈控制, 给出了分散式速度反馈控制与模态阻尼关系的显示表达式, 表明分散式速度反馈控制相当于增加了模态的阻尼, 本质上是阻尼控制。与元素法相比, 模态展开法物理概念更清晰, 计算效率更高, 为较大结构上反馈控制单元位置和数目的优化提供了可能。
通过对比两种反馈控制单元布置方式的模态阻尼可知, 板上均匀放置16个反馈控制单元时, 反馈控制的模态阻尼系数在5的倍数阶接近于0, 即在5的倍数阶模态处的控制效果较差。而反馈控制单元沿螺旋线布置时, 不仅提高了(1,1)阶的模态阻尼, 并且在5的倍数阶模态处的模态阻尼系数明显高于反馈控制单元均匀排布时的模态阻尼系数。
反馈控制单元的布置方式一定时, 模态阻尼大小与反馈控制单元的数量近似呈线性关系。反馈控制单元沿螺旋线布置不仅提高了板动能及辐射声功率在(1,1)阶模态的控制效果, 而且明显扩宽了有效的控制频带。两种反馈控制单元布置方式, 在动能和辐射声功率控制较好的共振频率处, 除第一阶模态外, 随着反馈增益的增加, 模态平均声辐射效率明显提高, 与结构阻尼具有相同的性质。
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表 1 反馈控制单元中心点的位置坐标
1 2 3 4 5 6 7 8 x (m) 0.2835 0.3165 0.3051 0.2411 0.1974 0.2449 0.3475 0.3821 y (m) 0.2212 0.2436 0.2948 0.3066 0.2423 0.1652 0.1782 0.2891 9 10 11 12 13 14 15 16 x (m) 0.2862 0.1559 0.1513 0.3011 0.4423 0.3973 0.1955 0.0651 y (m) 0.3755 0.3197 0.1651 0.0901 0.2023 0.3901 0.4313 0.2556 
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