引言

为应对海洋探测对于多功能化和多任务性的需求, 方向图可重构阵列^[1-2]获得了关注。其通过调整集成于声呐阵列系统中的开关、变容二极管、移相器等可变器件的状态, 根据任务要求实时切换阵列的波束方向图, 使阵列系统在应对不同任务时均具有优良的抗干扰性能^[3-5]。在过去30年里, 为了简化方向图可重构阵列系统的馈电网络, 国内外的学者们以唯相位波束控制和最小化动态范围作为条件, 提出了一些波束综合方法, 例如分析技术^[6]、改进的Woodward-Lawson技术^[7]、粒子群优化^[8]、遗传算法^[9]等。然而, 上述方法针对的是阵元均匀排布的直线阵, 这样的均匀阵列结构为了满足分辨率的要求, 需要较大的阵列孔径并排布较多的阵元数量, 从而造成信号采集及处理系统的复杂度和功耗的增加^[10-11]。

在使阵列系统的波束方向图满足要求的情况下, 减少阵元的数量, 从而降低系统的成本和复杂度是稀疏可重构直线阵列设计的重要目标^[12-15]。与均匀可重构直线阵列的波束综合问题不同, 稀疏可重构直线阵列设计问题还需将阵元的布放位置视作待求解变量, 即在优化阵列波束图的同时反解出阵元位置和阵元激励。然而阵列波束图与阵元位置之间是非线性关系, 这给阵元位置的求解带来了难度^[11]。为了能通过期望波束图解算出阵列的阵元位置, 出现了一些优秀的算法, 例如扩展矩阵束(ExtMPM)^[16]、扩展酉变换矩阵束(EUMPM)^[17]等。其中ExtMPM仅适用于设计综合笔形波束的稀疏可重构直线阵列, 即当波束模式为赋形波束时, 其计算出的阵元位置为复数, 与实际物理意义不符, 导致波束匹配误差较高, 且所设计的阵列在旁瓣级、阵增益等性能指标上存在衰减^[16]; EUMPM是在ExtMPM基础上的改良算法, 其通过酉变换将采样矩阵从复数域转换到实数域, 从而降低特征分解步骤的计算复杂度并提升了算法的求解效率^[17]。然而, 对于上述算法而言, 其计算量随着波束方向图数量增加呈指数倍增长, 因此适用于设计波束方向图数量较少的稀疏可重构直线阵列, 即算法的适用范围有限^[2]。

近年来, 压缩感知理论在信号处理领域获得了广泛的应用, 许多学者将其引入至稀疏可重构直线阵列设计问题, 并已提出一些算法, 例如多任务贝叶斯压缩感知(MT-BCS)^[18]、多测量矢量欠定系统局域解法^[19]、扩展重加权1范数最小化^[20]等。上述算法均利用阵元在阵列孔径上呈现稀疏排布的性质, 建立并求解稀疏优化模型, 从而设计出使用阵元数量最少的稀疏可重构直线阵列。由于这类算法是以最小化阵元数量作为优化目标, 因此所设计的稀疏可重构直线阵列在减少阵元数量、降低系统成本方面具有更好的表现。然而, 鉴于压缩感知的基本原理, 上述算法在设计阵列之前需要对阵元的布放位置做网格划分, 进而才能建立稀疏优化模型, 因此所设计的阵列的性能依赖于离散网格的密集程度, 过宽或者过窄的网格间距会降低阵列的波束匹配精度和稀疏度, 从而降低阵列系统的抗干扰和噪声抑制能力^[21]。换句话说, 不合适的网格间距所导致的网格失配问题会降低稀疏可重构直线阵列的性能。

现今, 基于原子范数的无网格压缩感知理论获得了关注^[22-24], 该理论建立的稀疏优化模型可以有效避免网格划分过程, 并实现了连续域的稀疏信号表示。因此, 本文提出了使用重加权原子范数最小化(RANM)的稀疏可重构直线阵列设计算法。该算法首先将稀疏可重构直线阵列设计问题表示为多测量矢量原子范数最小化模型, 从而克服网格失配问题并提升阵列性能, 之后再利用RANM算法解算出稀疏可重构直线阵列的阵元位置和阵元激励, 完成阵列设计的流程。仿真结果表明, 与压缩感知类方法相比, RANM算法设计的稀疏可重构直线阵列具有更高的波束匹配精度, 即阵列波束图和参考波束图之间的拟合度更高。

1.   可重构直线阵列波束方向图模型

对于一个阵列孔径为L的可重构直线阵, 假设其由N个各向同性阵元组成, 第n个阵元的位置用d_n表示。此外, 改变各阵元的阵元激励可切换阵列的M种工作状态, 即综合M种不同的波束方向图。仅考虑理想单频点模型, 那么该可重构直线阵综合的第m个波束方向图^[19]可表示为

式中, ${\text{i}} = \sqrt { - 1}$表示虚数单位, $w_n^{\left( m \right)} = {\alpha _n}\exp \left( {{\text{i}}\phi _n^{\left( m \right)}} \right)$表示综合第m个波束模式时对应的第n个阵元的激励, ${\alpha _n}$和$\phi _n^{\left( m \right)}$分别表示激励$w_n^{\left( m \right)}$的幅度和相位, ${k_0} = 2\pi /\lambda$表示波数, $u = \sin \theta$且$\theta$表示波束方向与直线阵法向的夹角。对于唯相位控制的可重构直线阵, 不同模式所对应的阵元激励在幅度上相同, 相位上不同, 即阵元幅度满足$| {w_n^{( 1 )}} | = \cdots = | {w_n^{( M )}} | = {\alpha _n}$。通常来说, 相较于幅度 − 相位控制的可重构直线阵, 这种唯相位控制的结构可以起到简化馈电网络的作用^[9]。此外, 为方便起见, 定义第n个阵元的多模式激励矢量为${{\boldsymbol{w}}_n} = {\left[ {w_n^{\left( 1 \right)},w_n^{\left( 2 \right)}, \cdots ,w_n^{\left( M \right)}} \right]^{\text{T}}}$, 且定义N个阵元对应的阵元位置矢量为${\boldsymbol{d}} = {\left[ {{d_1},{d_2}, \cdots ,{d_N}} \right]^{\text{T}}}$。

对于稀疏可重构直线阵设计问题, 其数学模型可以描述为使用足够少的阵元并将其排布成阵元间距不均匀的直线阵, 该直线阵能够综合出与参考波束的形状近乎一致的波束方向图, 即可以表示为

式中, $F_{\rm REF}^{\left( m \right)}\left( u \right)$是已知的参考波束方向图, 通常由阵元信息确定的均匀可重构直线阵综合而成, 例如文献[7]中图1对应的波束方向图。此外, $N$, ${\widehat d_n}$, $\widehat w_n^{\left( m \right)}$均是需要优化的变量, 对应于稀疏可重构直线阵的阵元数量、第n个阵元的阵元位置以及第n个阵元综合第m个模式时的阵元激励。与均匀直线阵列的波束形成算法不同^[25-26], 式(2)中多了阵元位置和阵元数量这两个优化变量, 且阵元位置与波束方向图之间呈现非线性的关系, 难以简单地将其描述成一个凸问题并获得最优解。下一节将引入无网格稀疏优化的思想^[22-24], 把式(2)表示成阵元数量、位置与激励联合稀疏优化的凸优化模型, 并通过RANM算法解出稀疏可重构直线阵的阵元位置和阵元激励。

2.   稀疏可重构直线阵列设计方法

2.1   基于无网格稀疏优化的阵列设计模型

对于式(2)的稀疏可重构直线阵的设计模型, 本节将基于无网格稀疏优化的思想和原子范数理论, 利用阵元在阵列孔径上的稀疏性, 将其表示成连续参数空间上的稀疏参数优化的形式。

基于式(1)表示的可重构直线阵的波束方向图模型, 首先在$u \in \left[ { - 1,1} \right]$上做等间隔采样获得波束方向图数据, 即定义采样间隔$\varDelta = 1/\left( {J - 1} \right)$, 且$J$是需要人为设置的参数, 其决定了采样点的数量。通过采样间隔$\varDelta$获得的采样位置矢量${\boldsymbol{u}}$为

式中, ${\left( \cdot \right)^{\text{T}}}$表示矩阵或矢量的转置运算。可见在参数J和采样间隔$\varDelta$确定后, 对于一个模式的波束方向图, 一共有2J − 1个等间隔采样点。当采样位置矢量${\boldsymbol{u}}$确定后, 根据式(1)的波束方向图模型, 采样位置${\boldsymbol{u}}$对应的M个模式的波束方向图采样数据矩阵可表示为${\boldsymbol{F}} = \left[ {{{\boldsymbol{F}}^{\left( 1 \right)}}, \cdots ,{{\boldsymbol{F}}^{\left( M \right)}}} \right] \in {\mathbb{C}^{\left( {2J - 1} \right) \times M}}$, 其中第m个模式的波束采样数据矢量为${{\boldsymbol{F}}^{\left( m \right)}} = [ {F^{\left( m \right)}}\left( {{u_1}} \right),{F^{\left( m \right)}}\left( {{u_2}} \right), \cdots , {F^{\left( m \right)}}\left( {{u_{2J - 1}}} \right) ]^{\text{T}} \in {\mathbb{C}^{2J - 1}}$。

由于连续参数空间上的无网格稀疏优化方法最早起源于稀疏线谱估计问题^[22-24], 为了将式(2)表示为无网格稀疏优化的形式, 在此引入原子集的定义, 并考察稀疏可重构直线阵设计与稀疏线谱估计模型之间的联系。由于采样矢量${\boldsymbol{u}}$的长度为2J−1, 即在稀疏线谱估计模型中观测数据长度为2J−1, 频率变量$f$对应的原子^[24]可表示为${\boldsymbol{a}}\left( f \right) = [ 1,\exp \left( {{\text{i}}2\pi f} \right), \cdots , \exp \left( {{\text{i}}2\pi \left( {2J - 2} \right)f} \right) ]^{\text{T}}$, 其中$f \in \left. {\left[ {0,1} \right.} \right)$。可见原子能被视作阵列的导向矢量, 只是变量的物理意义有所不同, 但数学模型一致。对于M个波束模式的波束方向图, 其可视作M个测量矢量, 则对应的原子集可被定义为^[24]

式中, ${\boldsymbol{A}}\left( {f,{\boldsymbol{b}}} \right) = {\boldsymbol{a}}\left( f \right){{\boldsymbol{b}}^{\text{H}}}$且${\left( \cdot \right)^{\text{H}}}$表示矩阵或矢量的共轭转置运算, ${\boldsymbol{b}} \in {\mathbb{C}^M}$是M维的变量, 在式(4)的原子集中仅需满足${\left\| {\boldsymbol{b}} \right\|_2} = 1$即可。

附录A已经论证等间隔采样后N元可重构直线阵列波束方向图模型和文献[24]中多测量矢量N元线谱模型具有一致性, 因此波束模式的采样数据矩阵${\boldsymbol{F}}$可以被N元频率变量${f_1},{f_2}, \cdots ,{f_N}$所对应的原子集$\mathcal{A}$中的原子线性表示, 即

式中, ${\boldsymbol{A}}\left( {{f_n},{{\boldsymbol{b}}_n}} \right) \in \mathcal{A}$且${f_n}$表示线谱中第n个频率变量, ${{\boldsymbol{r}}_n} = {\left[ {r_n^{\left( 1 \right)},r_n^{\left( 2 \right)}, \cdots ,r_n^{\left( M \right)}} \right]^{\text{T}}}$表示频率${f_n}$对应的复信号矢量。在附录A中, ${f_n}$的表达式为${f_n} = {d_n}/\left( {\lambda \left( {J - 1} \right)} \right)$, 且第m个观测复信号变量$r_n^{\left( m \right)}$的表达式为$r_n^{\left( m \right)} = {\alpha _n}\exp \left( {{\text{i}}2\pi {f_n}\left( {1 - J} \right)} \right)\exp \left( {{\text{i}}\phi _n^{\left( m \right)}} \right)$。因此, 第n个频率${f_n}$与第n个阵元的位置${d_n}$之间存在线性关系, 且第n个频率${f_n}$对应的信号矢量${{\boldsymbol{r}}_n}$与第n个阵元位置${d_n}$上的多模式阵元激励${{\boldsymbol{w}}_n}$也存在线性关系, 即

综上, 式(5)和式(6)说明唯相位控制的可重构直线阵列波束方向图在等间隔采样后, 可以被视作线谱估计模型中的多测量矢量观测数据矩阵^[24], 且线谱频率与阵元位置呈现线性关系。换句话说, 稀疏可重构直线阵设计与稀疏线谱估计问题具有一致性, 即对于式(5)表示的线性模型, 优化出的具有稀疏性的频率对应于阵列孔径上稀疏排布的阵元。因此可以引入原子0范数和原子范数理论, 通过式(5)的线性模型, 优化出稀疏解。得到稀疏频率和对应的信号矢量后便可通过式(6)转换为阵元的位置和激励矢量, 从而实现稀疏阵列的设计。

根据稀疏优化思想, 需要引入一个稀疏度判据, 从而通过最优化方法求出稀疏变量。因此, 对于式(5)的线性模型, 引入无网格稀疏优化模型中的稀疏度判据, 即原子0范数为^[24]

可见原子0范数表示组成目标波束采样矩阵${\boldsymbol{F}}$所需的最少原子数量$N$。因此, 利用原子0范数, 通过式(2)的思想, 可将稀疏可重构直线阵优化设计模型表示为

式中, ${{\boldsymbol{F}}_{{\text{REF}}}} = [ {{\boldsymbol{F}}_{{\text{REF}}}^{( 1 )}, \cdots ,{\boldsymbol{F}}_{{\text{REF}}}^{( M )}} ] \in {\mathbb{C}^{( {2J - 1} ) \times M}}$是阵元激励及位置均已知的${N_{\rm REF}}$元参考可重构直线阵的波束采样数据, 且第m个模式对应的采样数据为${\boldsymbol{F}}_{{\text{REF}}}^{( m )} = {[ \, {F_{{\text{REF}}}^{( m )}( {{u_1}} ),\, F_{{\text{REF}}}^{( m )}( {{u_2}} ), \, \cdots , \, F_{{\text{REF}}}^{( m )}( {{u_{2J - 1}}} )} \, ]^{\text{T}}} \in\, {\mathbb{C}^{2J - 1}}$, ${\left\| \, \cdot \, \right\|_{\text{F}}} \,$表示Frobenius范数, 参数$\eta$作为采样位置${\boldsymbol{u}}$对应的重构波束数据${\boldsymbol{F}}$与参考波束数据${{\boldsymbol{F}}_{{\text{REF}}}}$之间的误差约束参数。显然式(8)的优化模型表示在采样的重构波束与参考波束的误差小于$\eta$的情况下, 充分减少阵元数量的优化目的, 恰好等价于式(2)的约束项在变量$u$离散化后的优化形式。此外, 式(8)表示的多测量矢量稀疏优化模型保证了不同的波束模式共享同一组阵元位置, 即在多波束模式的情况下利用联合稀疏性优化出阵元位置, 解决单个波束方向图的稀疏阵列设计存在的阵列布局不统一的问题^[11]。然而, 对于式(8)而言, 原子0范数是非凸函数, 且该优化问题是NP难问题, 难以获得最优解。

为了能用凸优化算法获得一个逼近优化式(8)性能的较优解, 可以对原子0范数作凸松弛^[24], 将其松弛成原子范数${\left\| {\boldsymbol{F}} \right\|_\mathcal{A}}$, 即

因此, 式(8)松弛为如下的原子范数最小化的形式, 即

综上, 式(2)的稀疏可重构直线阵列设计模型已被表示成式(10)的原子范数最小化模型。从式(9)的范数定义可以看出原子范数将频率视作变量, 其在连续的频率参数空间中优化出稀疏解, 可以克服1范数在稀疏参数估计时由于离散化处理而存在的网格失配问题^[22-24]。

2.2   原子范数最小化的等价形式及参数求解

对于式(10), 其目标函数和约束项均为凸函数, 因此式(10)是标准的凸优化问题, 具有局部最优解为全局最优解的优化性质。然而, 原子范数是一种在连续参数域上表示的范数, 其范数形式涉及到了原子的频率变量, 且范数形式远比1范数复杂, 很难通过优化算法直接解出式(10)的最优解。为了能获得式(10)对应的最优重构波束数据${\boldsymbol{F}}$及频率矢量${\boldsymbol{f}}$, 可以将其转化为一个形式较为简单的等价优化形式。在文献[22]中, 式(10)等价于如下的半正定规划形式:

式中, $\rm{Tr}\left( \cdot \right)$表示迹运算, ${\boldsymbol{F}} \in {\mathbb{C}^{\left( {2J - 1} \right) \times M}}$, ${\boldsymbol{O}} \in {\mathbb{C}^{M \times M}}$, ${\boldsymbol{x}} \in {\mathbb{C}^{2J - 1}}$均是优化变量, $T\left( \cdot \right)$表示Toeplitz映射算子。对于优化变量${\boldsymbol{x}} = {\left[ {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_{2J - 1}}} \right]^{\text{T}}}$, $T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$的形式为

式中, ${\left( \cdot \right)^ * }$表示共轭运算。对于式(11), 可以借助优化工具包CVX优化出与式(10)等价最优的变量${\boldsymbol{F}}$。更重要的是, 式(11)优化出的最优$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$中包含了原子的频率信息, 即根据范德蒙分解定理^[23], $T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$可以分解为如下的形式:

式中, ${\boldsymbol{G}} = \left[ {{\boldsymbol{a}}\left( {{f_1}} \right), \cdots ,{\boldsymbol{a}}\left( {{f_N}} \right)} \right] \in {\mathbb{C}^{\left( {2J - 1} \right) \times N}}$表示频率对应的原子所构成的基矩阵, ${\boldsymbol{P}} = {{\rm{diag}}} \left( {{p_1}, \cdots ,{p_N}} \right)$为对角矩阵且${p_n} > 0,{\text{ }}n = 1, \cdots ,N$。此外, 原子的数量N恰好对应Toeplitz矩阵$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$的秩。从式(11)的目标函数可以看出, ${{\rm{min}}\; {\rm{Tr}}}\left( {T\left( {\boldsymbol{x}} \right)} \right)$这一项起到了减少矩阵$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$的秩的作用, 从而让频率矢量${\boldsymbol{f}}$在频率的区间$f \in \left[ {0,1} \right]$内变得足够稀疏。此外, 式(11)中$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$的形式在统计意义上相当于非相干信号源的数据协方差矩阵的形式, 因此通过子空间类算法便可轻松地估计出构成$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$的最优频率。

对于最优$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$, 需要先估计出原子的数量$N$, 之后才可通过子空间类算法估计出原子的频率。通过分析$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$的特征值的分布来估计$N$, 即对$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$做特征分解可得

式中, 特征值矩阵${\boldsymbol{\varLambda }} = {{\rm{diag}}} \left( {{\varLambda _1}, \cdots ,{\varLambda _{2J - 1}}} \right)$为对角矩阵, 且${\varLambda _1} > {\varLambda _2} > \cdots > {\varLambda _{2J - 1}}$。通过特征值的能量比来确定$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$的秩, 也即原子数量$N$满足

式中, $\delta$是需要设置的能量比阈值门限。当稀疏的原子数量$N$确定后, 使用子空间类方法便可从$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$中估计出N个原子的频率, 因此使用旋转不变传播算子方法^[27]从$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$中估计出N维频率矢量${\boldsymbol{\widehat f}} = {[ {{{\widehat f}_1},{{\widehat f}_2}, \cdots ,{{\widehat f}_N}} ]^{\text{T}}}$。

当获得原子的频率矢量${\boldsymbol{\widehat f}}$后, 便可构造出对应的基矩阵${\boldsymbol{\widehat G}} = [ {{\boldsymbol{a}}( {{{\widehat f}_1}} ), \cdots ,{\boldsymbol{a}}( {{{\widehat f}_N}} )} ]$。根据式(5)对应的原子频率与波束方向图之间的线性关系, 通过最小二乘法和式(11)优化出的采样波束矩阵${\boldsymbol{F}}$便可估计出第n个频率${\widehat f_n}$所对应的复信号矢量${{\boldsymbol{\widehat r}}_n} = {[ {\widehat r_n^{\left( 1 \right)}, \cdots ,\widehat r_n^{\left( M \right)}} ]^{\text{T}}}$, 其中$\widehat r_n^{\left( m \right)} = {\widehat \beta _n}\exp ( {{\text{i}}\widehat \varphi _n^{\left( m \right)}} )$通过下式计算:

式中, ${\left( \cdot \right)^\dagger }$表示伪逆运算, $\ln \left( \cdot \right)$表示取自然对数, ${\left( \cdot \right)_{n,m}}$表示矩阵第n行第m列元素, ${\left| \cdot \right|_{n,m}}$表示矩阵第n行第m列元素的模。通过式(16)便可以计算出第n个频率对应的信号矢量${{\boldsymbol{\widehat r}}_n}$。以此类推, N个频率对应的信号矢量${{\boldsymbol{\widehat r}}_1}, \cdots ,{{\boldsymbol{\widehat r}}_N}$均可获得, 进而通过式(6)将原子的频率和信号矢量转换成稀疏可重构直线阵的阵元位置${\boldsymbol{\widehat d}}$和对应的N个激励矢量${{\boldsymbol{\widehat w}}_1}, \cdots ,{{\boldsymbol{\widehat w}}_N}$, 从而完成稀疏可重构直线阵列的设计。

2.3   重加权原子范数最小化算法

2.1与2.2节已将稀疏可重构直线阵的设计问题转化为连续参数空间上的稀疏优化的形式, 并通过式(10)和式(11)的原子范数优化方法获得稀疏阵列的阵元位置与阵元激励。然而对于式(10)和式(11)而言, 尽管原子范数${\left\| {\boldsymbol{F}} \right\|_\mathcal{A}}$可以起到使优化变量稀疏化的效果, 但由于其是原子0范数的凸松弛形式, 因此在稀疏性和参数优化的精度上和原子0范数${\left\| {\boldsymbol{F}} \right\|_{\mathcal{A},0}}$之间存在一定的性能差距。为了提升优化性能, 引入RANM算法, 其最早用于超分辨率线谱估计问题中, 相较于式(11)的原子范数最小化模型, RANM算法通过重加权迭代过程克服了原子范数的分辨率限制, 提升了稀疏度和参数估计的准确率^[23]。该算法将式(11)转换为迭代优化的形式, 即

式中, 上标t表示迭代次数索引, ${W}^{t}={\left(T\left({x}^{t-1}\right) + \epsilon I\right)}^{-1}$为第t次迭代时的重加权矩阵, ${\boldsymbol{I}}$表示维度为2J − 1的单位矩阵, 可见优化模型(式(17))在每次迭代过程需要重新计算权重矩阵${\boldsymbol{W}}$。通常来说, 在第一次迭代运算之前重加权矩阵初始化为单位阵。$\epsilon$是一个需要人工调节的参数, 该参数起到了桥接原子范数和原子0范数性能的作用^[23], 主要体现为: 当$\epsilon \to 0$时, 式(17)的目标函数性能接近原子0范数, 经过多次迭代后可以提升稀疏度; 而当$\epsilon \to \infty$时, 式(17)的目标函数性能接近原子范数, 稀疏度相比原子0范数有所降低。因此设置合适的参数$\epsilon$可以在原子范数的基础上进一步提升优化变量的稀疏度和精度, 从而提升设计出的稀疏可重构阵列性能。此外, 本文经验化地设定迭代重加权的最大迭代次数为6次。

对于式(17)表示的优化问题, 其对偶优化方程的计算效率更高^[21]。通过拉格朗日乘子法可推导出对偶优化方程为

式中, ${\boldsymbol{V}} \in {\mathbb{C}^{\left( {2J - 1} \right) \times M}}$和${\boldsymbol{Z}} \in {\mathbb{C}^{\left( {2J - 1} \right) \times \left( {2J - 1} \right)}}$是对偶优化变量, ${\rm Re} \left( \cdot \right)$表示取实部运算。对于优化工具包CVX而言, 当对偶问题(18)求解后, 通过特定语法便可获得相关联的原始问题(17)的最优解${\boldsymbol{F}}$和${\boldsymbol{x}}$, 进而可以获得最优原子频率矢量${\boldsymbol{\widehat f}}$和对应的N个复信号矢量${{\boldsymbol{\widehat r}}_1}, \cdots ,{{\boldsymbol{\widehat r}}_N}$, 最后将其转换为稀疏可重构直线阵的阵元位置和阵元激励。综上, 使用RANM的稀疏可重构直线阵列设计方法的流程表如表1所示。

表  1  使用RANM的稀疏可重构直线阵列设计流程表

输入: 采样点数$J$, 约束项参数$\eta$, 重加权参数$\epsilon$, 能量比阈值$\delta$, 最大迭代次数D=6, 均匀采样的参考可重构波束图${{\boldsymbol{F}}_{{\text{REF}}}}$
1. 初始化权重参数${\boldsymbol{W}} = {\boldsymbol{I}}$
2. for t=1:D
3. 求解对偶优化方程
$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\min }\limits_{{\boldsymbol{V}},{\boldsymbol{Z}}} }&{2\eta {{\left\| {\boldsymbol{V}} \right\|}_{\text{F}}} + 2{\rm {Re}} \left( {{\rm {Tr}}\left( {{{\boldsymbol{F}}_{{\text{REF}}}}{\boldsymbol{V}}} \right)} \right),} \\ {\rm {s.t.}}&{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{I}}&{{{\boldsymbol{V}}^{\rm H}}} \\ {\boldsymbol{V}}&{\boldsymbol{Z}} \end{array}} \right] \geqslant {\boldsymbol{0}},} \\ {}&{\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{2J - 1 - j} {{Z_{n,n + j - 1}}} =\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{2J - 1 - j} {{W_{n,n + j - 1}}} ,{\text{ }}j = 1, \cdots ,2J - 1.} \end{array}$
4. 通过优化工具包中特定语法获得对应原始问题的最优解${\boldsymbol{F}}$和${\boldsymbol{x}}$
5. 更新下一次迭代需要的重加权矩阵$W={\left(T\left(x\right) + \epsilon I\right)}^{-1}$
6. end
7. 对最后一次迭代获得的最优$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$使用特征分解, 确定原子数量$N$, 即$N$需要满足式(15)的条件
8. 使用旋转不变传播算子算法通过$T\left( {\boldsymbol{x}} \right)$估计N维原子频率${\boldsymbol{\widehat f}}$, 并通过式(16)计算对应的N个信号矢量${{\boldsymbol{\widehat r}}_1}, \cdots ,{{\boldsymbol{\widehat r}}_N}$
9. 通过式(6)将原子频率与信号矢量转换为稀疏可重构直线阵列的N维阵元位置矢量${\boldsymbol{\widehat d}}$和对应的N个激励矢量${{\boldsymbol{\widehat w}}_1}, \cdots ,{{\boldsymbol{\widehat w}}_N}$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

3.   仿真实验结果及分析

3.1   稀疏可重构直线阵列性能指标

为了衡量算法的性能, 首先将阵列的稀疏度作为性能指标, 其含义为稀疏可重构直线阵列的阵元数量$N$相较于参考可重构直线阵列阵元数量${N_{{\text{REF}}}}$所节省的阵元数量比率, 表达式为$\left( {{N_{{\text{REF}}}} - N} \right)/{N_{{\text{REF}}}} \times 100\%$。此外, 将稀疏可重构直线阵列的波束方向图与参考波束方向图之间的归一化均方误差(MSE)作为算法评价标准, 其也被称为匹配误差, 用$\xi$表示, 即

最后, 列出了算法设计的稀疏可重构直线阵列在峰值旁瓣电平(PSLL)、阵列孔径、最小阵元间距上的结果用以对比分析。

3.2   参数分析实验

本节研究各个参数对算法性能的影响。以文献[9]中图1对应的两种($M = 2$)模式的波束方向图作为参考波束, 该参考波束由笔形波束和平顶波束构成, 是由阵元数量${N_{{\text{REF}}}} = 20$的半波长均匀可重构直线阵综合而成, 阵列的孔径为$9.5\lambda$。本实验分析采样点数$J$、能量比阈值$\delta$、误差约束参数$\eta$以及重加权参数$\epsilon$的不同的参数范围对本文提出的使用RANM的稀疏可重构直线阵设计方法的性能影响。实验结果如图1所示。

图  1  不同参数对使用RANM的稀疏可重构直线阵设计方法的性能影响 (a) 采样点数$J$对性能的影响; (b) 约束参数$\eta$对性能的影响; (c) 重加权参数$\epsilon$对性能的影响; (d) 能量比阈值$\delta$对性能的影响

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图1(a)是固定$\eta = {10^{ - 2}}$、$\epsilon =1$和$\delta = 0.01$, 改变采样点数量$J \in \left[ {7,20} \right]$时的实验结果, 其中横轴表示采样点数$J$, 纵轴分别表示稀疏可重构直线阵的阵元数量$N$和匹配误差$\xi$。从图1(a)中可见, 随着$J$的增加, 阵元数量$N$随之增加, 匹配误差$\xi$逐渐降低。当$J = 9$时, 匹配误差为$6.61 \times {10^{ - 3}}$, 阵元数量为14; 当$J \geqslant 10$时, 匹配误差$\xi$降低到${10^{ - 3}}$以下, 当$J = 11$时, 尽管阵元数量比$J = 9$时多了1个, 即$N = 15$, 但是匹配误差为$1.30 \times {10^{ - 4}}$, 远低于$J = 9$时的匹配误差, 其设计出的稀疏可重构阵列的波束图与参考波束图更为匹配, 效果更好。

图1(b)是固定$J = 11$、$\epsilon =1$且$\delta = 0.01$, 改变$\eta \in [ {{{10}^{ - 4}},{{10}^1}} ]$时的实验结果。当$\eta \leqslant {10^{ - 1}}$时, 波束匹配误差的数量级为${10^{ - 4}}$; 当$\eta \gt {10^{ - 1}}$时, 随着$\eta$的增加, 采样位置${\boldsymbol{u}}$所对应的重构波束与参考波束矩阵之间的约束项$\left\| {{\boldsymbol{F}} - {{\boldsymbol{F}}_{{\text{REF}}}}} \right\|_{\text{F}}^2$的约束力降低, 因此所需阵元数量$N$随之减少, 进而导致重构波束在整个区间$u \in \left[ { - 1,1} \right]$上的匹配误差$\xi$逐渐增加。当$\eta = 2$时, 尽管阵元数量减少到13, 但是匹配误差$\xi$为$1.40 \times {10^{ - 2}}$, 数量级为${10^{ - 2}}$, 难以准确匹配参考波束。因此当固定$J = 11$、$\epsilon =1$和$\delta = 0.01$时, 选取$\eta \leqslant {10^{ - 1}}$能保证在减少阵元数量$N$的同时获得高精度重构波束方向图。

图1(c)是固定$J = 11$、$\eta = {10^{ - 2}}$且$\delta = 0.01$, 改变$\epsilon \in [{10}^{-4},{10}^{5}]$时的实验结果, 可见随着$\epsilon$增加, 所需的阵元数量$N$增加, 稀疏度降低, 这恰好对应于$\epsilon \to \infty$时, 目标函数性能逼近原子范数的现象。当$\epsilon \in ({10}^{2},{10}^{5}]$时, 所需的阵元数量为16或17, 当$\epsilon ={10}^{5}$时, 尽管匹配误差$\xi$降低到$5.74 \times {10^{ - 5}}$, 但是需要更多的阵元数量, 即17个阵元。当$\epsilon \in ({10}^{-2},{10}^{2}]$时, 波束的匹配误差略高于${10^{ - 4}}$, 且仅需15个阵元。当$\epsilon \in [{10}^{-4},{10}^{-2}]$时, 所需阵元数量减少, 对应于当$\epsilon \to 0$时目标函数性能逼近原子0范数的现象, 然而此时匹配误差为$6.36 \times {10^{ - 3}}$, 即匹配误差远高于当$\epsilon \in ({10}^{-2},{10}^{2}]$时重构的波束。因此对于参考的波束方向图, $\epsilon \in ({10}^{-2},{10}^{2}]$是较好的参数设置范围。

图1(d)是固定$J = 11$、$\epsilon =1$且$\eta = {10^{ - 2}}$, 改变$\delta \in [ {{{10}^{ - 4}},5 \times {{10}^{ - 1}}} ]$时的实验结果, 可见在$\delta \leqslant 3 \times {10^{ - 2}}$时, 波束匹配误差的数量级为${10^{ - 4}}$, 几乎不再降低, 其中当$\delta \in [ {3 \times {{10}^{ - 3}},3 \times {{10}^{ - 2}}} ]$时, 所需的阵元数量最少, 为15个。当$\delta \in [ {{{10}^{ - 4}},3 \times {{10}^{ - 3}}} )$时, 尽管波束匹配误差的数量级仍为${10^{ - 4}}$, 但是所需的阵元数量大于15。当$\delta \gt 3 \times {10^{ - 2}}$时, 随着$\delta$的增加, 所需的阵元数量逐渐减少, 但是波束匹配误差骤增, 例如$\delta = 4 \times {10^{ - 2}}$时, 波束匹配误差$\xi$为$1.03 \times {10^{ - 2}}$, 远高于$\delta \in [ 3 \times {{10}^{ - 3}}, 3 \times {{10}^{ - 2}} ]$时的波束匹配误差结果, 说明当设置$\delta \gt 3 \times {10^{ - 2}}$时重构的波束无法精确地匹配参考波束。因此, $\delta \in [ {3 \times {{10}^{ - 3}},3 \times {{10}^{ - 2}}} ]$是较好的参数选择范围。

3.3   有效性实验

选择两个($M = 2$)和三个($M = 3$)模式的可重构直线阵列综合的波束方向图作为参考波束, 测试本文提出的使用RANM的稀疏可重构直线阵列设计方法的性能, 并与MT-BCS算法进行对比^[18]。

3.3.1   双波束模式稀疏可重构直线阵列设计

本实验将文献[9]中图2对应的两个($M = 2$)模式的波束方向图作为参考波束, 该参考波束是由笔形波束和平顶波束构成。此外, 该波束是由20阵元的均匀可重构直线阵综合而成, 即${N_{{\text{REF}}}} = 20$, 且阵列的孔径为$9.5\lambda$。对于本文提出的使用RANM的稀疏可重构直线阵列设计算法, 设置$J = 11$, $\eta = {10^{ - 3}}$, $\epsilon =10$, $\delta = {10^{ - 2}}$便可获得阵元数量为15的稀疏可重构直线阵列, 阵列的稀疏度为25%, 匹配误差$\xi$为$2.03 \times {10^{ - 4}}$, 图2(a)(b)给出了稀疏可重构直线阵列的波束方向图结果, 从图中可以看到本文所提方法设计的稀疏可重构直线阵的波束方向图与参考波束方向图的形状相似。此外, 波束方向图的各项性能指标列于表2中。除了波束方向图外, 通过本文所提方法设计的稀疏可重构直线阵列的阵元激励与阵元位置之间的关系绘制于图2(c)(d)中。从图中可知, 对于设计出的稀疏可重构直线阵列而言, 多个波束模式对应的各阵元的阵元位置和阵元激励幅度一致, 仅阵元激励相位不同, 即其仅需要通过阵元相位的切换来实现重构不同的波束模式的效果。对于MT-BCS算法^[18], 其设计出的稀疏可重构直线阵列同样需要15个阵元, 然而波束匹配误差$\xi$为$3.19 \times {10^{ - 3}}$, 与本文所提方法设计的稀疏可重构直线阵列相比波束匹配精度低了一个数量级。从图2(a)的笔形波束方向图看出, MT-BCS与RANM算法在波束匹配精度上性能差距不大, 都能准确重构笔形波束, 然而对于图2(b)的平波束, MT-BCS算法无法在旁瓣区间内准确重构平顶波束, 旁瓣形状与参考波束相比有较大差异, 从而导致整体的匹配精度不如本文所提方法的设计结果。以下将基于表2中的性能指标进一步分析这两个方法的结果, 从笔形波束的旁瓣级来看, MT-BCS和RANM算法设计出的稀疏可重构直线阵列的波束旁瓣级均比参考笔形波束要低, 分别为$- 26.36\;{ {\rm{dB}}}$和$- 25.00\;{ {\rm{dB}}}$。从平顶波束的旁瓣级来看, 参考的平顶波束的旁瓣级为$- 25.01\;{ {\rm{dB}}}$, MT-BCS算法设计的稀疏可重构直线阵的旁瓣级为$- 22.50~{ {\rm{dB}}}$, 本文提出的方法所获得的稀疏可重构直线阵的旁瓣级为$- 23.67\;{ {\rm{dB}}}$。从两个波束模式整体的旁瓣级来看, 本文的方法略优于MT-BCS算法, 峰值旁瓣电平为$- 23.67\;{ {\rm{dB}}}$。从阵列的最小阵元间距来看, MT-BCS算法设计的稀疏直线阵的最小阵元间距为$0.02\lambda$, 而RANM算法设计的稀疏直线阵的最小阵元间距为$0.59\lambda$, 由于阵元间距大于MT-BCS算法的设计结果, 因此在实际使用中, 阵元间的电磁耦合效应更低, 具有更好的应用价值。接下来根据图2(a)(b)中的子图分析波束方向图的零点位置和零陷深度性能, 从图中可知, 本文的方法设计出的稀疏可重构直线阵的零点位置与参考波束近乎一致, 但是零陷深度的性能有所差异, 这是因为式(10)中的约束项$\left\| {{\boldsymbol{F}} - {{\boldsymbol{F}}_{{\text{REF}}}}} \right\|_{\text{F}}^2$只能作用于采样点对应的离散波束数据, 采样点不一定包含准确的零陷位置, 因此约束项$\left\| {{\boldsymbol{F}} - {{\boldsymbol{F}}_{{\text{REF}}}}} \right\|_{\text{F}}^2$只能保证重构的波束与参考波束的形状近乎一致, 即零点的位置能够近乎一致, 但无法精确保证零陷深度的性能。例如在图2(a)的笔形波束方向图中, 当$\theta = {\text{13}}{\text{.5}}{{\text{3}}^ \circ }$且$u = 0.234$时, 参考波束的零陷深度为$- 67.06\; {\rm{dB}}$, 本文所提方法重构的笔形波束的零陷深度为$- 78.85\; {\rm{dB}}$, 优于参考笔形波束。在图2(b)的平顶波束方向图中, 当$\theta = {23.89^ \circ }$且$u = {\text{0}}{\text{.405}}$时, 参考平顶波束的零陷深度为$- 41.34 \;{\rm{dB}}$, 本文所提方法重构的平顶波束的零陷深度为$- 38.83 \;{\rm{dB}}$, 略逊色于参考的平顶波束。

图  2  $M = 2$时稀疏可重构直线阵波束方向图及阵元激励分布图 (a) 笔形波束方向图对比; (b) 平顶波束方向图对比; (c) RANM设计的稀疏可重构直线阵阵元激励幅度; (d) RANM设计的稀疏可重构直线阵阵元激励相位

下载: 全尺寸图片 幻灯片

表  2  M = 2时可重构直线阵性能对比表

方法	阵元数量	匹配误差	笔形波束PSLL (dB)	平顶波束PSLL (dB)	最小阵元间距 ($\lambda$)	阵列孔径 ($\lambda$)
参考波束[8]	20	—	−24.93	−25.01	0.50	9.50
MT-BCS	15	3.19 × 10−3	−26.36	−22.50	0.02	9.23
RANM	15	2.03 × 10−4	−25.00	−23.67	0.59	9.26

下载: 导出CSV 

| 显示表格

3.3.2   三波束模式稀疏可重构直线阵列设计

本实验以文献[7]中图2对应的三种($M = 3$)模式的波束方向图作为参考波束, 该参考波束由笔形波束、平顶波束和余割平方波束构成, 且由孔径为$9.5\lambda$的20阵元均匀可重构直线阵综合而成, 即${N_{{\text{REF}}}} = 20$。在此, 对于本文提出的使用RANM的稀疏可重构直线阵列设计方法, 设置$J = 16$, $\eta = 7 \times {10^{ - 2}}$, $\epsilon =10$, $\delta = 3 \times {10^{ - 2}}$便可获得阵元数量为17的稀疏可重构直线阵列, 阵列的稀疏度为15%, 匹配误差$\xi$为$4.92 \times {10^{ - 3}}$。对于MT-BCS算法而言, 其设计的17阵元的稀疏可重构直线阵的波束匹配误差为$3.14 \times {10^{ - 2}}$, 相较于RANM算法的设计结果, 波束匹配精度低了一个数量级, 图3(a)(b)(c)分别给出了本文所提方法与MT-BCS算法设计的稀疏可重构直线阵的波束方向图, 从图3(a)和图3(c)可以看出两个算法在笔形波束和余割平方波束上匹配精度相近, 都能重构出与参考波束形状相近的波束方向图, 而在图3(b)的平顶波束中, MT-BCS算法在旁瓣区间内无法精准重构参考波束, 因此RANM算法设计的稀疏可重构直线阵列的波束匹配精度优于MT-BCS算法。为了能更加详细地对比算法的性能, 将波束方向图的性能指标列于表3中。此外, 图3(d)和图3(e)中也给出了本文所提方法设计的稀疏阵列阵元激励的幅度分布和相位分布。从图中可知, 多个波束模式对应的阵元激励幅度一致, 阵元激励相位不同, 仅需通过阵元相位的切换便可实现波束模式切换的效果。接下来基于表3中的旁瓣级来对比两个算法, 不论是笔形波束、平顶波束还是余割平方波束, 通过RANM算法获得的稀疏可重构阵列的旁瓣级均低于MT-BCS算法的设计结果, 分别为$- 18.93\;{ {\rm{dB}}}$, $- 17.48\;{ {\rm{dB}}}$, $- 17.04\;{ {\rm{dB}}}$。从阵元的最小阵元间距来看, MT-BCS算法的最小阵元间距为0.02λ, 而本文所提方法设计的稀疏直线阵的最小阵元间距为$0.18\lambda$, 由于本文方法设计的稀疏可重构直线阵的阵元间距大于MT-BCS算法, 因此在实际使用中受阵元耦合效应的影响更小。此外, 通过图3(a)(b)(c)也可分析稀疏可重构直线阵的零点位置和零陷深度性能。从图3(a)的笔形波束方向图可知, 尽管本文的方法重构的笔形波束方向图能够保证在$\theta = 8.2{7^ \circ }$且$u = 0.148$位置上的零陷深度性能, 但是在$\theta > 7{0^ \circ }$且$u > 0.93$时, 重构波束的零陷深度逊色于参考波束。因此在强干扰位于$\theta > 7{0^ \circ }$的场景下, 阵列的干扰抑制能力有所降低。图3(b)中平顶波束方向图的零陷深度情况与图3(a)类似, 其在$\theta > 7{0^ \circ }$且$u > 0.93$时的零陷深度性能逊色于参考波束。在图3(c)中可以看到RAMM算法重构的波束在$\theta = - 26.7{4^ \circ }$且$u = - 0.45$位置上的零陷性能优于参考波束, 但在$\theta = - {8^ \circ }$且$u = - 0.139$位置上, 参考波束的零陷深度为$- 43.36 \;{\rm{dB}}$, RAMM算法重构的波束的零陷深度为$- 34.27 \;{\rm{dB}}$, 逊色于参考波束。这正是因为波束的匹配误差位于${10^{ - 3}}$数量级, 逊色于实验1的重构精度, 因此无法对所有的波束细节做精确重构, 从而无法保证在一些零点位置上的零陷性能。

图  3  $M = 3$时稀疏可重构直线阵波束方向图及阵元激励分布图 (a) 笔形波束方向图对比; (b) 平顶波束方向图对比; (c) 余割平方波束方向图对比; (d) RANM设计的稀疏可重构直线阵阵元激励幅度; (e) RANM设计的稀疏可重构直线阵阵元激励相位

下载: 全尺寸图片 幻灯片

表  3  $M = 3$时可重构直线阵性能对比表

方法	阵元数量	匹配误差	笔形波束PSLL (dB)	平顶波束PSLL (dB)	余割平方波束 PSLL (dB)	最小阵元间距 ($\lambda$)	阵列孔径 ($\lambda$)
参考波束[8]	20	—	−20.03	−19.50	−20.01	0.50	9.50
MT-BCS	17	3.14 × 10−2	−17.87	−16.96	−16.16	0.02	9.00
RANM	17	4.92 × 10−3	−18.93	−17.48	−17.04	0.19	9.42

下载: 导出CSV 

| 显示表格

3.4   多波束扫描方向图综合

以低旁瓣(${\text{PSLL}} \leqslant - 40{\text{ dB}}$)的切比雪夫波束作为基本波束, 将不同指向的扫描多波束作为参考波束, 用以测试本文提出的使用RANM的稀疏可重构直线阵列设计方法的性能。

3.4.1   相同旁瓣级且不同主瓣指向的稀疏可重构直线阵列设计

本实验将阵元数量${N_{\rm REF}} = 64$, 旁瓣级${\text{PSLL}} = - 40{\text{ dB}}$的切比雪夫波束作为基本波束, 把主瓣指向分别为$\left[ { - 10^\circ ,0^\circ , + 10^\circ } \right]$, $\left[ { - 20^\circ , - 10^\circ ,0^\circ , + 10^\circ , + 20^\circ } \right]$, $\left[ { - 30^\circ , - 20^\circ , - 10^\circ ,0^\circ , + 10^\circ , + 20^\circ , + 30^\circ } \right]$的扫描多波束作为参考波束, 对应的模式数量分别为$M = 3$,$M = 5$, $M = 7$, 波束方向图如图4(a)(b)(c)所示。对于模式数量为3的多波束扫描方向图而言, 设置$J = 34$, $\eta = 5 \times {10^{ - 2}}$, $\epsilon =1$, $\delta = {10^{ - 2}}$, 则本文所提方法可以设计出41阵元的稀疏可重构直线阵, 且波束匹配误差为2.38 × 10⁻⁶, 稀疏度为35.94%, 重构的波束方向图如图4(d)所示, 可以看出重构的波束方向图与图4(a)中参考波束方向图形状近乎一致。此外, 旁瓣级等性能指标也已列于表4中, 可见稀疏可重构直线阵的旁瓣级相较于参考均匀可重构直线阵的性能损失不大, 仅抬升了1.4 dB。对于模式数量为5和7的波束方向图而言, 分别设置$J = 37$, $\eta = {10^{ - 1}}$, $\epsilon =1$, $\delta = {10^{ - 2}}$以及$J = 33$, $\eta = {10^{ - 1}}$, $\epsilon =10$, $\delta = {10^{ - 2}}$, 通过本文提出的使用RANM的设计方法便可以设计出阵元数量分别为47和51的稀疏可重构直线阵列, 稀疏度分别为26.56%以及20.31%, 匹配误差分别为4.64 × 10⁻⁷及1.01 × 10⁻⁶, 稀疏可重构直线阵列综合的波束方向图如图4(e)(f)所示。从图中可知, 重构的波束方向图与图4(b)(c)中的参考波束方向图形状相似, 能在可视区域内匹配参考波束。重构的波束方向图指标也列于表4中, 可见稀疏可重构直线阵的旁瓣级相较于参考均匀可重构直线阵的性能损失不大, 均不高于−38 dB。此外, 从表4的结果中可知, 随着模式数量$M$的增加, 在同样数量级的匹配误差情况下, 稀疏度在逐渐降低。这是因为波束模式的增加相当于约束项$\left\| {{\boldsymbol{F}} - {{\boldsymbol{F}}_{{\text{REF}}}}} \right\|_{\text{F}}^2$的约束条件数量的增加, 即约束条件变得更加苛刻, 从而导致阵列阵元的数量更难以减少。

图  4  不同主瓣指向的参考波束和RANM算法重构的波束 (a) 主瓣指向$\left[ { \pm 10^\circ ,0^\circ } \right]$的参考波束; (b)主瓣指向$\left[ { \pm 20^\circ , \pm 10^\circ ,0^\circ } \right]$的参考波束; (c) 主瓣指向$\left[ { \pm 30^\circ , \pm 20^\circ , \pm 10^\circ ,0^\circ } \right]$的参考波束; (d) 主瓣指向$\left[ { \pm 10^\circ ,0^\circ } \right]$的RANM波束; (e) 主瓣指向$\left[ { \pm 20^\circ , \pm 10^\circ ,0^\circ } \right]$的RANM波束; (f)主瓣指向$\left[ { \pm 30^\circ , \pm 20^\circ , \pm 10^\circ ,0^\circ } \right]$的RANM波束

下载: 全尺寸图片 幻灯片

表  4  不同主瓣指向的可重构直线阵列性能表

参考可重构直线阵列			RANM算法获得的稀疏可重构直线阵列
模式数量M	PSLL (dB)	阵元数量	稀疏后阵元数量	匹配误差	PSLL (dB)	最小阵元间距 ($\lambda$)	阵列孔径 ($\lambda$)
3	−40	64	41	2.38 × 10−6	−38.6	0.67	31.47
5	−40	64	47	4.64 × 10−7	−39.9	0.55	31.49
7	−40	64	51	1.01 × 10−6	−38.2	0.58	31.48

下载: 导出CSV 

| 显示表格

3.4.2   相同主瓣指向且不同旁瓣级的稀疏可重构直线阵列设计

本实验将阵元数量为${N_{{\text{REF}}}} = 64$, 旁瓣级${\text{PSLL}} = - 45{\text{ dB}}, - 50{\text{ dB}}, - 55{\text{ dB}}$的切比雪夫波束作为基本波束, 把主瓣指向为$\left[ { - 10^\circ ,0^\circ , + 10^\circ } \right]$的扫描多波束作为参考波束, 即模式数量$M = 3$, 扫描多波束的方向图如图5(a)(b)(c)所示。对于旁瓣级为−45 dB的参考扫描波束方向图, 设置$J = 35$, $\eta = 5 \times {10^{ - 1}}$, $\epsilon ={10}^{-1}$, $\delta = {10^{ - 3}}$, 则本文所提方法可以设计出的41阵元的稀疏可重构直线阵, 且该稀疏直线阵重构的波束方向图的匹配误差为4.09 × 10⁻⁶。图5(d)给出了重构的波束方向图, 可见在可视区域内, 重构的波束方向图能够匹配图5(a)的参考波束方向图。对于旁瓣级为−50 dB以及−55 dB的参考波束方向图, 设置$J = 44$, $\eta = 5 \times {10^{ - 1}}$, $\epsilon = {10}^{-3}$, $\delta = {10^{ - 4}}$, 便可设计出阵元数量为42的稀疏可重构直线阵列, 波束匹配误差分别为2.97 × 10⁻⁷, 1.89 × 10⁻⁷, 图5(d)(e)(f)所示为重构的波束方向图, 其性能指标见表5。从图5(d)(e)(f)可知, 重构的波束方向图在可视区域内能够匹配参考波束方向图, 但是波束的旁瓣会有轻微的起伏。但是总的来说, 与参考波束相比, 本文所提方法获得的稀疏可重构直线阵列的波束方向图在旁瓣级上的性能损失不超过1 dB, 这是因为重构波束的匹配精度很高, 满足$\xi < {10^{ - 5}}$, 从而保证了重构波束与参考波束的旁瓣形状具有较强的一致性。此外, 实验结果也从侧面说明如果想改变稀疏直线阵列的旁瓣级, 只需要改变参考波束的旁瓣级并使其符合期望要求即可, 由于本文所提方法设计的稀疏可重构直线阵具有很好的波束匹配精度, 因此当参考波束的旁瓣级改变后, 稀疏可重构直线阵的旁瓣级和旁瓣形状也会与参考波束近乎一致, 起到控制波束旁瓣的效果。

图  5  不同旁瓣级的参考波束和RANM算法重构的波束 (a) ${\text{PSLL}} = - 45{\text{ dB}}$的参考波束; (b) ${\text{PSLL}} = - 50{\text{ dB}}$的参考波束; (c) ${\text{PSLL}} = - 55{\text{ dB}}$的参考波束; (d) ${\text{PSLL}} = - 45{\text{ dB}}$时RANM重构的波束; (e) ${\text{PSLL}} = - 50{\text{ dB}}$时RANM重构的波束; (f) ${\text{PSLL}} = - 55{\text{ dB}}$时RANM重构的波束

下载: 全尺寸图片 幻灯片

表  5  不同旁瓣级的可重构直线阵性能表

参考可重构直线阵			RANM算法设计的稀疏可重构直线阵
模式数量	旁瓣级	阵元数量	稀疏后阵元数量	匹配误差	PSLL (dB)	最小阵元间距 ($\lambda$)	阵列孔径 ($\lambda$)
M=3	−45	64	41	4.09 × 10−6	−44.53	0.70	31.45
M=3	−50	64	42	2.97 × 10−7	−49.47	0.64	31.46
M=3	−55	64	42	1.89 × 10−7	−54.59	0.64	31.46

下载: 导出CSV 

| 显示表格

3.4.3   相控性分析

本实验将3.4.1节中图4(a)对应的64阵元3个波束模式的均匀可重构直线阵作为参考, 考察本文提出的基于RANM的设计方法所获得的稀疏可重构直线阵列的相控性, 具体体现为当待接收信号不在$\left[ { - 10^\circ ,0^\circ , + 10^\circ } \right]$这3个角度上时, 验证能否通过调整阵元激励相位进一步调整波束的主瓣指向。在此, 以3.4.1节中RANM方法获得的41阵元稀疏可重构直线阵为例, 在图6(a)绘制出当$u \in \left[ { - 2,2} \right]$时的波束方向图, 可见当所有阵元获得一个调相权重时, 波束方向图在可视区域外的栅瓣就会进入到可视区域$u \in \left[ { - 1,1} \right]$中, 从而极大地影响阵列的性能, 这个问题在稀疏阵列设计中难以避免^[28]。这是因为优化模型中参考波束模式必须是提前确定的, 因此这样的优化模型在减少阵元数量的同时, 即在阵型确定后, 只能重构出参考的多波束模式, 无法像均匀阵列一样按照需求继续调整波束形状。此外, 由于优化模型中采样数据限制在可视区域$u \in \left[ { - 1,1} \right]$之内, 使得设计出的稀疏阵列在可视区域外存在栅瓣的问题, 无法自由调整主瓣指向, 这可以认为是减少阵元数量所付出的代价。为了能让设计出的稀疏可重构直线阵具有一定的调相灵活性, 设置采样波束区间为$u \in \left[ { - 1.5,1.5} \right]$, 通过设置$J = 35$, $\eta = 1 \times {10^{ - 1}}$, $\epsilon =1$, $\delta = {10^{ - 3}}$便可以获得阵元数量为57的稀疏可重构直线阵, 波束匹配误差为9.28 × 10⁻⁸, 稀疏度为10.94%, 相较于采样区间为$u \in \left[ { - 1,1} \right]$时的结果, 可见采样区间的增大保证了波束方向图具有一定的调整主瓣指向的能力, 但是阵列的稀疏度大幅降低, 从35.94%降低至10.94%。当设置采样区间为$u \in \left[ { - 2,2} \right]$时, 本文方法无法在保证重构精度的情况下减少阵元数量, 即阵元数量只能保持$N = 64$, 并不是“稀疏”阵列。换句话说, 想让稀疏阵列具有与均匀阵列相同的灵活度是很困难的, 阵元数量的减少以及阵元的非均匀排布会不可避免地损失阵列在波束调相方面的灵活度。

图  6  不同采样区间下RANM设计的稀疏可重构直线阵列的波束图 (a) 采样区间[−1, 1]时RANM的设计结果; (b) 采样区间[−1.5, 1.5]时RANM的设计结果; (c) 采样区间[−2, 2]时RANM的设计结果

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.5   敏感性分析

本实验对已经设计出的稀疏可重构直线阵列的阵元激励施加幅相干扰, 从而研究这类干扰对阵列波束图的性能影响。以3.3.1节中RANM算法获得的15阵元稀疏可重构直线阵为例, 对理想阵元激励的幅度和相位随机扰动, 并进行200次Monte Carlo仿真。图7(a)(b)分别给出了波束方向图的匹配误差随幅相扰动的变化曲线。由图可知, 随着阵元激励的幅相位偏差的增加, 波束模式的匹配精度性能也在降低。为了保证存在馈电偏差时重构波束模式也具有较高的匹配精度($\xi \leqslant 6 \times {10^{ - 3}}$), 需要让馈电幅度偏差小于理想幅度的±12%, 且让相位偏差小于理想相位的±17%。此外, 也可获得3.3.1节中RANM算法设计出的稀疏可重构直线阵列对幅度偏差更敏感的结论。图7(c)(d)给出了一次扰动实验中幅度偏差为±12％时的稀疏可重构直线阵列的波束方向图, 并且于表6列出性能指标。根据图7(c)(d)和表6可以看出, 受到幅度扰动后, 稀疏可重构直线阵的笔形波束的旁瓣仍低于参考笔形波束, 而平顶波束的旁瓣相较于参考波束抬升了${\text{3}}{\text{.14 dB}}$。从匹配误差来看, 笔形波束的匹配误差为$4.60 \times {10^{ - 3}}$, 而平顶波束的匹配误差为$5.57 \times {10^{ - 3}}$。可见平顶波束对于馈电幅度偏差更敏感, 该方向图的精确赋形对馈电激励的准确性有更高的要求。

图  7  幅相扰动对稀疏可重构直线阵的波束模式影响 (a) 阵元幅度扰动对匹配误差的影响; (b) 阵元相位扰动对匹配误差的影响; (c) 幅度扰动为12%时的笔形波束对比图; (d) 幅度扰动为12%时的平顶波束对比图

下载: 全尺寸图片 幻灯片

表  6  幅度扰动为12%时稀疏可重构直线阵性能表

方法	阵元数量	匹配误差	笔形波束PSLL (dB)	平顶波束PSLL (dB)	最小阵元间距 ($\lambda$)	阵列孔径 ($\lambda$)
参考波束[8]	20	—	−24.93	−25.01	0.50	9.50
RANM	15	5.09 × 10−3	−25.84	−21.87	0.59	9.26

下载: 导出CSV 

| 显示表格

4.   结论

针对网格失配导致阵列波束图性能下降的问题, 本文提出了使用RANM的稀疏可重构直线阵列设计算法。该算法将稀疏可重构直线阵列设计问题表示为多测量矢量原子范数最小化模型, 进而利用RANM算法解算出使用阵元数量最少的稀疏可重构直线阵列的阵元位置和阵元激励。由于所提算法借助原子范数理论实现了无网格稀疏优化建模, 因此可以克服网格失配问题, 从而提升阵列波束图的匹配精度性能。仿真实验说明, 与MT-BCS算法相比, RANM算法设计的稀疏可重构直线阵列在波束匹配精度性能上提升一个数量级, 且阵列旁瓣级也更低, 因此具有更强的噪声及干扰抑制能力。此外, 仿真实验结果表明, RANM算法设计的稀疏可重构直线阵列仅需通过改变换能器单元的馈电相位便可重构出不同类型的阵列波束图, 且较宽的阵元间距降低了阵元的互耦效应, 使得所设计的阵列在实际水下工作环境下的性能损失更低, 传感器数目需求更少, 对于多功能和多任务的海洋探测具有更好的实用价值。

附录A 均匀间隔波束采样的原子表示

在此论述唯相位控制的波束方向图在等间隔采样后的数据矩阵能够通过原子集中的N个频率为${f_1},\cdots ,{f_N}$的原子进行线性表示。首先, 模式数量为M的唯相位控制的波束方向图在式(3)对应的${\boldsymbol{u}}$上的采样矩阵可以表示为

由于考虑的是唯相位控制的可重构直线阵列, 则有$w_n^{( m )} = | {w_n^{( m )}} |\exp ( {{\text{i}}\phi _n^{( m )}} )$且$| {w_n^{( 1 )}} | = \cdots = | {w_n^{( M )}} | = {\alpha _n}$。根据式(A1)表示的波束方向图模型, 均匀采样的数据矩阵${\boldsymbol{F}}$可以进一步表示为

对于采样间隔为$\varDelta = 1/\left( {J - 1} \right)$的等间隔采样位置${\boldsymbol{u}} = {\left[ {{u_1},{u_2}, \cdots ,{u_{2J - 1}}} \right]^{\text{T}}}$, 其等价为如下形式:

于是将波数${k_0} = 2\pi /\lambda$以及式(A3)代入式(A2)中, 并且令${f_n} = {d_n}/\left( {\lambda \left( {J - 1} \right)} \right)$, 即第n个频率变量${f_n}$恰好等价于${d_n}/\left( {\lambda \left( {J - 1} \right)} \right)$。则式(A2)可表示为如下形式:

显然${\left[ {1,\exp \left( {{\text{i}}2\pi {f_n}} \right), \cdots ,\exp \left( {{\text{i}}2\pi {f_n}\left( {2J - 2} \right)} \right)} \right]^{\text{T}}}$恰好是频率变量为${f_n}$时原子${\boldsymbol{a}}\left( {{f_n}} \right)$的形式。对于式(A4), 定义${{\boldsymbol{r}}_n} = {\alpha _n}\exp \left( {{\text{i}}2\pi {f_n}\left( {1 - J} \right)} \right){\left[ {\exp \left( {{\text{i}}\phi _n^{\left( 1 \right)}} \right), \cdots ,\exp \left( {{\text{i}}\phi _n^{\left( M \right)}} \right)} \right]^{\text{T}}} \in {\mathbb{C}^M}$, 其可以被视作频率${f_n}$所对应的复信号矢量。因此式(A4)恰好可以被视作如下的线谱估计的基本模型, 从而可以引入无网格稀疏优化理论做稀疏参数优化, 即

为了能用原子集中的原子表示观测数据${\boldsymbol{F}}$, 令${{\boldsymbol{b}}_n} = \exp \left( {{\text{i}}2\pi {f_n}\left( {1 - J} \right)} \right){\left[ {\exp \left( {{\text{i}}\phi _n^{\left( 1 \right)}} \right), \cdots ,\exp \left( {{\text{i}}\phi _n^{\left( M \right)}} \right)} \right]^{\text{H}}}/M$, 则${{\boldsymbol{b}}_n}$的表达式恰好满足${{\boldsymbol{b}}_n} \in {\mathbb{C}^M}$且${\left\| {{{\boldsymbol{b}}_n}} \right\|_2} = 1$, 那么${\boldsymbol{a}}\left( {{f_n}} \right){\boldsymbol{b}}_n^{\text{H}} = {\boldsymbol{A}}\left( {{f_n},{{\boldsymbol{b}}_n}} \right) \in \mathcal{A}$。即等间隔采样点对应的观测数据${\boldsymbol{F}}$可表示为无网格稀疏优化理论中的N个原子的线性组合的形式:

综合式(A3)和式(A4)可知, 频率${f_n} = {d_n}/ \left( {\lambda \left( {J - 1} \right)} \right)$和阵元位置${d_n}$之间相差一个常量$1/\left( {\lambda \left( {J - 1} \right)} \right)$, ${f_n}$对应的复信号矢量${{\boldsymbol{r}}_n}$与阵元位置在${d_n}$上的阵元激励矢量${{\boldsymbol{w}}_n}$之间相差一个相位因子$\exp \left( {{\text{i}}2\pi {f_n}\left( {1 - J} \right)} \right)$。换句话说, 对于式(A5)表示的线性模型而言, 当通过无网格稀疏优化算法获得稀疏频率的解之后, 可以通过下面的公式将频率和对应的信号矢量转换为稀疏可重构直线阵列的阵元位置与阵元激励, 从而实现稀疏阵列设计的效果, 即