The influence of sinusoidal noise canceller on noise reduction performance in feedforward hybrid active noise control system
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摘要:
混合前馈有源噪声控制系统中, 正弦噪声抵消器产生宽带参考信号, 影响有源噪声控制效果。为了给混合前馈有源噪声控制系统中正弦噪声抵消器的选择和优化提供理论支撑, 研究了正弦噪声抵消器对混合前馈有源噪声控制系统的收敛和降噪性能的影响。首先, 对比了常用的正弦噪声抵消器, 并提出了一种基于级联二阶无限脉冲响应陷波滤波器组的正弦噪声抵消器。其次, 推导控制滤波器系数误差均值迭代公式, 研究正弦噪声抵消器对宽带和窄带控制器的收敛以及耦合的影响。最后, 分析正弦噪声抵消器的收敛速度和带宽对混合前馈有源噪声控制系统瞬态和稳态降噪性能的影响。仿真和实验结果证明了所提理论和正弦噪声抵消器的有效性。
Abstract:The performance of the feedforward hybrid active noise control is influenced by the sinusoidal noise canceller which generates the broadband reference signal. In order to provide a theoretical basis for the selection and optimization of the sinusoidal noise canceller in the feedforward hybrid active noise control system, the effects of the sinusoidal noise canceller on the convergence and noise reduction performance are investigated in this work. First, the existing sinusoidal noise cancellers are compared, and a sinusoidal noise canceller based on the cascade second-order infinite impulse response notch filter bank is proposed. By deriving iterative equations of mean weight errors, the effects of the sinusoidal noise canceller on the convergence and coupling of controllers are then analyzed. Finally, the influence of the convergence rate and bandwidth of the sinusoidal noise canceller on both the transient and steady-state noise reduction performance is discussed. Extensive simulations and experiments are conducted to validate the proposed theory.
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引言
广泛存在的噪声会对人类活动产生不利的影响。基于声波反相叠加原理的有源噪声控制(ANC)技术对低频噪声控制效果好[1-5]。有源噪声控制领域中最经典的算法是结构简单、计算量小、性能优异的滤波-x最小均方(FxLMS)算法[6-8]。但是, 无论理论分析还是实验结果都表明, 基于FxLMS算法的宽带有源噪声控制(BANC)技术在参考信号自相关矩阵特征值扩散度较大, 即参考信号能量集中在某些频率时, 收敛速度和降噪效果欠佳[1,9]。为了更好地控制低频线谱噪声, Widrow等提出了窄带有源噪声控制(NANC)算法[10]。由于不需要参考传声器且计算复杂度低, NANC算法成为有源噪声控制领域的研究热点[11-14]。然而, 由于NANC算法使用内部生成的同步信号作为参考信号, 其对目标频率之外的噪声没有任何控制能力。
实际的噪声通常既含有频率范围宽的宽带成分, 又含有能量集中的窄带成分, 如风机或泵产生的噪声。对于这种复合噪声, 使用BANC和NANC技术都不能取得理想的降噪效果。为了解决这一问题, Xiao等提出了混合前馈有源噪声控制(FFHANC)技术[15], 其核心思想是采用一个正弦噪声抵消器(SNC)将参考信号中的宽带和窄带成分分离, 随后使用并行的BANC和NANC子系统分别抵消初级噪声中的宽带和窄带成分, 其中产生宽带参考信号的SNC是FFHANC系统的重要组成部分。因此, 近年来有许多针对SNC的研究, 如Xiao等提出了使用无限脉冲响应(IIR)陷波器分离参考信号的方法[16,17], 黄博妍和Chen等在SNC上应用了自适应方法[18,19], Zhu等改进了基于离散傅里叶系数(DFC)分析器的SNC的结构[20]。
许多关于FFHANC系统的研究使用DFC分析器[15,18-23]实现参考信号的分离。DFC分析器可看作是一种基于最小均方(LMS)算法的陷波器, 其结构简单, 方便并行连接以同时除去多个线谱[24]。IIR陷波器也可以作为SNC [16,17], 其优点是可以方便地使用自适应陷波技术追踪窄带噪声的频率, 以解决实际应用中可能出现的频偏问题[25-27]。此外, 线性预测也可用于分离复合噪声中的宽带和窄带成分[28]。仿真和实验结果显示, 在FFHANC系统中, 上述方法都能够实现参考信号分离这一目标。
近年来, 针对FFHANC系统的研究很多, 包括SNC子系统的设计、基于控制滤波器更新方式的性能优化等。然而, 与直接影响系统降噪性能的SNC子系统相关的两个问题还没有得到解决: 1) 没有关于SNC参考信号分离性能的分析; 2) 没有关于SNC对FFHANC系统性能影响的讨论。为解决这些问题, 本文对FFHANC系统中的正弦噪声抵消器进行了系统研究。首先, 对比了各种正弦噪声抵消器的信号分离性能, 并提出了一种基于级联二阶IIR陷波器组的正弦噪声抵消器。其次, 推导控制滤波器系数误差在均值意义下的迭代方程, 分析了SNC的收敛对控制滤波器收敛行为的影响。最后, 讨论了正弦噪声抵消器对FFHANC系统的瞬态和稳态降噪性能的影响。
1. 混合前馈有源噪声控制系统
1.1 有源噪声控制算法
图1是FFHANC系统的示意图, 此系统是针对待消除的噪声中同时存在宽带和窄带成分的情况设计的。图1中由传感器采集到的参考信号
x(n) 可以表示为宽带噪声和窄带噪声之和, 有x(n)=xb(n)+xn(n)=xb(n)+q∑k=1[akcos(ωkn)+bksin(ωkn)], (1) 其中,
xb(n) 为宽带噪声,xn(n) 为包含q 个频率分量的窄带噪声。各窄带噪声分量对应的圆频率为ωk , 每个频率分量的DFC分别为ak 和bk , 其中k=1,⋯,q 。与传统的有源噪声控制方法不同, FFHANC系统首先利用SNC子系统除去参考信号x(n) 中的窄带成分, 得到宽带噪声的估计x′b(n) , 并将其作为BANC子系统的参考信号。误差信号中的窄带噪声则由NANC子系统处理, 作为窄带参考信号的内部同步信号可以表示为x1k=cos(ωkn) 和x2k=sin(ωkn) 。图1中的
S(z) 是从次级声源到误差传感器的次级通道, 可以用一个L 阶的FIR滤波器表示为{\boldsymbol{s}}(n) = {\left[ {{s_0},{s_1}, \cdots ,{s_{L - 1}}} \right]^{\text{T}}} 。\widehat S({\textit{z}}) 是次级通道的估计, 可以使用\widehat L 阶的滤波器表示为{\boldsymbol{\widehat s}}(n) = {\left[ {{{\widehat s}_0},{{\widehat s}_1}, \cdots ,{{\widehat s}_{\widehat L - 1}}} \right]^{\text{T}}} 。W({\textit{z}}) 是N 阶宽带控制滤波器, 其系数向量为{\boldsymbol{w}}(n) = {\left[ {{w_0}(n),{w_1}(n), \cdots ,{w_{N - 1}}(n)} \right]^{\text{T}}} 。第k 个频率的窄带控制滤波器为{w_{1k}}(n) 和{w_{2k}}(n) 。根据慢收敛假设[1], 交换次级通道和控制滤波器的时序, 误差点处的次级噪声可以表示为
\widehat{d}(n)=\boldsymbol{r}_{b}^{\prime \mathrm{T}}(n) \boldsymbol{w}(n) + \sum_{k=1}^{q}\left[r_{1 k}(n) w_{1 k}(n) + r_{2 k}(n) w_{2 k}(n)\right] , (2) 其中,
r{'}_{b}^{\text{T}}(n) ,{r_{1k}}(n) ,{r_{2k}}(n) 分别为宽带和各窄带参考信号与真实次级通道S({\textit{z}}) 卷积形成的滤波参考信号:\boldsymbol{r}_b^{\prime}(n)=\sum_{i=0}^{L-1} s_i \boldsymbol{x}_b^{\prime}(n-i), (3) r_{1k}(n)=\sum_{i=0}^{L-1}s_ix_{1k}(n-i), (4) r_{2k}(n)=\sum_{i=0}^{L-1}s_ix_{2k}(n-i), (5) 其中,
{\boldsymbol{x}'_b}(n) = {\left[ {{x'_b}(n),{x'_b}(n - 1),\cdots,{x'_b}(n - N + 1)} \right]^{\text{T}}} 为宽带参考信号向量。图1中的误差信号e(n) 可以表示为e(n) = d(n) + \widehat d(n) + v(n), (6) 其中,
d(n) 为初级噪声,v(n) 为不相关的测量噪声。在FFHANC系统中, 基于FxLMS算法的滤波器系数更新公式为[15]
{\boldsymbol{w}}(n + 1) = {\boldsymbol{w}}(n) - \mu {\boldsymbol{\widehat r'_b}}(n)e(n), (7) {w_{1k}}(n + 1) = {w_{1k}}(n) - {\mu _k}{\widehat r_{1k}}(n)e(n), (8) {w_{2k}}(n + 1) = {w_{2k}}(n) - {\mu _k}{\widehat r_{2k}}(n)e(n), (9) 其中,
\mu 为宽带步长,{\mu _k} 为第k 个频率的窄带步长。{\widehat {\boldsymbol{r}}'_b}(n) ,{\widehat r_{1k}}(n) ,{\widehat r_{2k}}(n) 为估计的滤波参考信号, 可以通过将式(3)—式(5)中的{s_i} 换成{\widehat s_i} 获得。式(7)—式(9)描述了FFHANC系统的控制滤波器更新方式, 从中可以看出本算法与传统的ANC算法的区别主要有两点。第一, 在FFHANC系统中, 存在两个并行的ANC模块, 算法的总体降噪效果是BANC子系统和NANC子系统共同作用的结果。第二, 在FFHANC系统中, 宽带参考信号
{x'_b}(n) 是SNC子系统的输出信号, 它是对传声器采集到的参考信号x(n) 中宽带部分{x_b}(n) 的估计。而传统的BANC系统使用传声器采集到的信号作为参考信号。由于参考信号与初级噪声的相关性是决定有源噪声控制效果的重要因素, SNC的分离性能直接影响FFHANC的降噪性能。1.2 正弦噪声抵消器
IIR陷波器和DFC分析器是FFHANC系统中常用的信号参考分离方法。FFHANC系统中常用的二阶IIR陷波器的传递函数为[16]
H({\textit{z}}) = \frac{{1 - 2\cos ({\omega _o}){{\textit{z}}^{ - 1}} + {{\textit{z}}^{ - 2}}}}{{1 - 2r\cos ({\omega _o}){{\textit{z}}^{ - 1}} + {r^2}{{\textit{z}}^{ - 2}}}} = \frac{{\left( {{\textit{z}} - {\text{e}^{\text{j}{\omega _0}}}} \right)\left( {{\textit{z}} - {\text{e}^{ - \text{j}{\omega _0}}}} \right)}}{{\left( {{\textit{z}} - r{\text{e}^{\text{j}{\omega _0}}}} \right)\left( {{\textit{z}} - r{\text{e}^{ - \text{j}{\omega _0}}}} \right)}}, (10) 其中,
{\omega _o} 是陷波器的目标圆频率。r 是极点距离原点的距离, 为了保证陷波器的稳定性, 需要满足0 < r < 1 。根据传递函数可以看出, 二阶IIR陷波器仅影响目标频率附近的幅度和相位, 且极径r 与陷波带宽成反比。根据式(10), 二阶IIR陷波器单元在每个采样间隔需要执行三次乘法。基于LMS算法的DFC分析器的更新公式为[15]
\widehat a(n + 1) = \widehat a(n) + {\mu _{{\text{DFC}}}}{e_{{\text{DFC}}}}(n){x_1}(n), (11) \widehat b(n + 1) = \widehat b(n) + {\mu _{{\text{DFC}}}}{e_{{\text{DFC}}}}(n){x_2}(n), (12) 其中,
\widehat a(n) 和\widehat b(n) 为估计的DFC,{x_1}(n) 和{x_2}(n) 为窄带正弦和余弦参考信号。DFC分析器的误差信号为{e_{{\text{DFC}}}}(n) = x(n) - \left[ {{x_1}(n)\widehat a(n) + {x_2}(n)\widehat b(n)} \right]. (13) 当自适应步长较小时, DFC分析器可以视为极径为
1 - {\mu _{{\text{DFC}}}}/2 的IIR陷波器[24]。根据式(13), DFC分析器单元完成一次迭代需要进行6次乘法。基于LMS算法的线性预测方法也可以被用于分离参考信号的宽带和窄带成分[28], 其中滤波器的更新公式为
{{\boldsymbol{w}}_{{\text{LP}}}}(n + 1) = {{\boldsymbol{w}}_{{\text{LP}}}}(n) + {\mu _{{\text{LP}}}}{\boldsymbol{x}}(n - 1){x_{\text{B}}}(n), (14) {x_{\text{B}}}(n) = x(n) - {\boldsymbol{w}}_{{\text{LP}}}^{\text{T}}(n){\boldsymbol{x}}(n - 1). (15) 由于输入信号中的宽带成分会干扰滤波器的收敛过程, 基于线性预测方法的SNC可能需要较高的滤波器阶数和较长的收敛时间才能取得好的分离效果。增大收敛步长
{\mu _{{\text{LP}}}} 可以加速收敛, 但也会降低信号分离的精度。宽窄带复合噪声中的窄带成分通常包含多个频率的噪声, 因此FFHANC系统中的SNC需要同时除去多个频率的窄带噪声。线性预测方法的输入信号中存在所有窄带成分, 因此使用一个滤波器就可以消除所有的窄带噪声, 且无需预先识别窄带频率。而其余两种信号分离方法则需要组合使用多个SNC单元。对于DFC分析器, 可以方便地并联多个单元消除复数频率的窄带噪声, 而IIR陷波器单元则无法直接并联使用。现有的方法是利用IIR陷波器单元的输出来计算所有窄带噪声, 再从复合噪声中减去所有窄带成分, 如图2(a)所示[16]。然而, 这种SNC中存在
2q 次的减法, 其中的误差可能影响信号分离的精度。因此, 本文提出了一种基于级联二阶IIR陷波器组的SNC, 如图2(b)所示。不含任何减法环节的所提方法简化了SNC的结构, 能够提升信号分离的精度。值得注意的是, 级联结构会导致各IIR陷波器单元的延迟累积。二阶IIR陷波器单元的相位延迟仅存在于目标频率附近, 且存在延迟的范围与极径r 成反比。因此, 为了满足前馈宽带ANC子系统的因果性约束, 可以使用极径r 较大的陷波器, 以防止不同IIR陷波器单元陷波带宽重叠导致的相位延迟累积现象。2. 理论分析
FFHANC系统中SNC的输出信号是宽带控制滤波器的参考信号, 因此SNC直接影响FFHANC系统的收敛过程和降噪性能。在有源控制开始的阶段, SNC的输出是非稳态的, 这给统计分析带来困难。通过忽略SNC的收敛过程可以进行初步分析[29]。然而, 在实际应用中, 为了保证宽带性能, 通常会令SNC的带宽较小, 导致其需要较长时间才能达到稳定。这种情况下忽略SNC的收敛过程会给分析带来误差。为了理论分析的准确性, 需要考虑SNC收敛过程的影响。在有源控制开始的阶段, SNC处于收敛状态。此时, SNC还不能完全除去复合噪声中的窄带成分, 宽带和窄带参考信号之间将存在相关性。而SNC到达稳定状态后, 宽带参考信号可以被看作不包含任何窄带成分。本节研究这两种情况下SNC对FFHANC 系统的收敛和降噪性能的影响。
2.1 SNC对控制器收敛的影响
在收敛状态下, SNC输出的宽带参考信号中存在窄带成分。因此宽带参考信号
{x'_b}(n) 可以重写为{x'_b}(n) = {x_b}(n) + \sum\limits_{k = 1}^q {\left[ {{{a'}_k}{\text{cos}}({\omega _k}n) + {{b'}_k}{\text{sin}}({\omega _k}n)} \right]} , (16) 其中,
{a'_k} 和{b'_k} 为残余窄带成分的DFC。此时, 式(3)中的宽带参考信号向量可以重写为\begin{split} {{{\boldsymbol{r}}}^{\prime }}_{b}(n)={\displaystyle \sum _{i=0}^{L-1}{s}_{i}{{{\boldsymbol{x}}}^{\prime }}_{b}(n-i)}={{\boldsymbol{r}}}_{b}(n) + {\displaystyle \sum _{k=1}^{q}\left[{{a}^{\prime }}_{k}{{\boldsymbol{r}}}_{1k}(n) + {{b}^{\prime }}_{k}{{\boldsymbol{r}}}_{2k}(n)\right]}, \end{split} (17) 其中
{{\boldsymbol{r}}}_{b}(n)={\displaystyle \sum _{i=0}^{L-1}{s}_{i}{{\boldsymbol{x}}}_{b}(n-i)}. (18) 此外,
{\widehat {\boldsymbol{r}}'_b}(n) 和{\widehat {\boldsymbol{r}}_b}(n) 也可以通过将式(17)和式(18)中的真实次级通道替换估计次级通道获得。利用式(2)和式(6), 将宽带滤波器系数
w(n) 和窄带滤波器系数{w_{1k}}(n) ,{w_{2k}}(n) 都替换为定值, 并忽略控制滤波器和参考信号之间的相关性[30], FFHANC系统的均方误差(MSE)可以表示为\begin{split} & E[{e^2}(n)] = \sigma _d^2 + \sigma _v^2 + {{\boldsymbol{w}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{R}}_{{{r'}_b},{{r'}_b}}}{\boldsymbol{w}} + 2{{\boldsymbol{p}}_{d,{{r'}_b}}}{\boldsymbol{w}} + \\&\quad \sum\limits_{k = 1}^q {({R_{{r_{1k}},{r_{1k}}}}w_{1k}^2 + {R_{{r_{2k}},{r_{2k}}}}w_{2k}^2 + 2{p_{d,{r_{1k}}}}{w_{1k}} + 2{p_{d,{r_{2k}}}}{w_{2k}}}+ \\&\quad 2{w_{1k}}{{\boldsymbol{p}}_{{r_{1k}},{{r'}_b}}}{\boldsymbol{w}} + 2{w_{2k}}{{\boldsymbol{p}}_{{r_{2k}}{{r'}_b}}}{\boldsymbol{w}}), \end{split} (19) 其中,
\sigma _d^2 和\sigma _v^2 分别为初级噪声d(n) 和背景噪声v(n) 的方差。表1给出式(19)中的相关项的定义,{\boldsymbol{R}} 代表相关矩阵,{\boldsymbol{p}} 代表相关向量,R 代表相关系数, 计算相关的信号由下标表示。下文的其余符号也采用此定义方式。表 1 式(19)中符号的定义符号 定义 {{\boldsymbol{R}}_{{{r'}_b},{{r'}_b}}} {{\boldsymbol{r}}'_b}(n) 的自相关矩阵 {{\boldsymbol{p}}_{d,{{r'}_b}}} {{\boldsymbol{r}}'_b}(n) 和 d(n) 互相关向量 {{\boldsymbol{p}}_{{r_{1k}},{{r'}_b}}} {{\boldsymbol{r}}'_b}(n) 和 {{{r}}_{1k}}(n) 互相关向量 {{\boldsymbol{p}}_{{r_{2k}}{{r'}_b}}} {{\boldsymbol{r}}'_b}(n) 和 {{{r}}_{2k}}(n) 互相关向量 {p_{d,{r_{1k}}}} d(n) 和 {r_{1k}}(n) 互相关 {p_{d,{r_{2k}}}} d(n) 和 {r_{2k}}(n) 互相关 {R_{{r_{1k}},{r_{1k}}}} {r_{1k}}(n) 的自相关系数 {R_{{r_{2k}},{r_{2k}}}} {r_{2k}}(n) 的自相关系数 令MSE对
w ,{w_{1k}} ,{w_{2k}} 的偏导数为0, 可得{{\boldsymbol{R}}_{{{r'}_b},{{r'}_b}}}{\boldsymbol{w}} + {{\boldsymbol{p}}_{d,{{r'}_b}}} + \sum\limits_{k = 1}^q {\left( {{w_{1k}}{{\boldsymbol{p}}_{{r_{1k}},{{r'}_b}}} + {w_{2k}}{{\boldsymbol{p}}_{{r_{2k}},{{r'}_b}}}} \right)} = 0, (20) {R_{{r_{1k}},{r_{1k}}}}{w_{1k}} + {p_{d,{r_{1k}}}} + {\boldsymbol{p}}_{{r_{1k}},{{r'}_b}}^{\text{T}}{\boldsymbol{w}} = 0, (21) {R_{{r_{2k}},{r_{2k}}}}{w_{2k}} + {p_{d,{r_{2k}}}} + {\boldsymbol{p}}_{{r_{2k}},{{r'}_b}}^{\text{T}}{\boldsymbol{w}} = 0. (22) 求解式(20)—式(22)组成的方程组, 可以得到SNC处于收敛状态下FFHANC系统的最优解为
\begin{split} {{\boldsymbol{w}}}_{o}=&{\left[{{\boldsymbol{R}}}_{{{r}^{\prime }}_{b},{{r}^{\prime }}_{b}}-{\displaystyle \sum _{k=1}^{q}\left(\frac{{{\boldsymbol{p}}}_{{r}_{1k},{{r}^{\prime }}_{b}}{{\boldsymbol{p}}}_{{r}_{1k},{{r}^{\prime }}_{b}}^{\text{T}}}{{{\boldsymbol{R}}}_{{r}_{1k},{r}_{1k}}} + \frac{{{\boldsymbol{p}}}_{{r}_{2k},{{r}^{\prime }}_{b}}{{\boldsymbol{p}}}_{{r}_{2k},{{r}^{\prime }}_{b}}^{\text{T}}}{{R}_{{r}_{2k},{r}_{2k}}}\right)}\right]}^{-1}\cdot \\& \left[-{{\boldsymbol{p}}}_{d,{{r}^{\prime }}_{b}} + {\displaystyle \sum _{k=1}^{q}\left(\frac{{{{p}}}_{d,{r}_{1k}}{{\boldsymbol{p}}}_{{r}_{1k},{{r}^{\prime }}_{b}}}{{R}_{{r}_{1k},{r}_{1k}}} + \frac{{{{p}}}_{d,{r}_{2k}}{{\boldsymbol{p}}}_{{r}_{2k},{{r}^{\prime }}_{b}}}{{R}_{{r}_{2k},{r}_{2k}}}\right)}\right], \end{split} (23) {w_{1k,o}} = - \frac{{{\boldsymbol{p}}_{{r_{1k}},{{r'}_b}}^{\text{T}}{{\boldsymbol{w}}_o} + {p_{d,{r_{1k}}}}}}{{{R_{{r_{1k}},{r_{1k}}}}}}, (24) {w_{2k,o}} = - \frac{{{\boldsymbol{p}}_{{r_{2k}},{{r'}_b}}^{\text{T}}{{\boldsymbol{w}}_o} + {p_{d,{r_{2k}}}}}}{{{R_{{r_{2k}},{r_{2k}}}}}}. (25) 从式(23)—式(25)可以看出, 由于宽带参考信号中存在残余的窄带噪声, 宽带和窄带控制滤波器的最优解之间存在耦合。随着
{a'_k} 和{b'_k} 逐渐减小到0 , 耦合项{{\boldsymbol{p}}_{{r_{1k}},{{r'}_b}}} 和{{\boldsymbol{p}}_{{r_{2k}},{{r'}_b}}} 趋于零。因此, FFHANC系统的最优滤波器在SNC达到稳态之前是时变的。为了分析SNC对FFHANC系统中控制滤波器收敛的影响, 定义宽带和窄带控制滤波器的系数与最优解之间的系数误差为
{\boldsymbol{\varepsilon}} (n) = {\boldsymbol{w}}(n) - {{\boldsymbol{w}}_o} ,{\varepsilon _{1{\text{k}}}}(n) = {w_{1k}}(n) - {w_{1k,o}} 和{\varepsilon _{{\text{2k}}}}(n) = {w_{2k}}(n) - {w_{2k,o}} 。则根据式(2)和式(6), FFHANC系统的误差信号可以重写为e(n) = {e_o}(n) + {{\boldsymbol{r}}'_b}^{\text{T}}(n){\boldsymbol{\varepsilon}} (n) + \sum\limits_{k = 1}^q {\left[ {{r_{1k}}(n){\varepsilon _{1k}}(n) + {r_{2k}}(n){\varepsilon _{2k}}(n)} \right]} , (26) 其中,
{e_o}(n) 是使用最优解产生的估计误差。根据维纳滤波的正交性[9], 最优估计误差{e_o}(n) 与滤波参考信号{{\boldsymbol{r}}'_b}(n) ,{r_{1k}}(n) ,{r_{2k}}(n) 都无关。此外, 由于窄带控制器的最优解总是可以除去误差信号中的所有窄带噪声成分, 因此有E\left[ {{e_o}(n){{\widehat r}_{1k}}(n)} \right] = 0 ,E\left[ {{e_o}(n){{\widehat r}_{2k}}(n)} \right] = 0 。将式(26)代入式(7)并求数学期望, 可得宽带滤波器系数误差向量的均值迭代公式为
\begin{split} E[{\boldsymbol{\varepsilon}} (n + 1)]=&({\boldsymbol{I}}-\mu {{\boldsymbol{R}}}_{{\widehat{{r}^{\prime }}}_{b},{{r}^{\prime }}_{b}})E[{\boldsymbol{\varepsilon}} (n)]-\mu {{\boldsymbol{p}}}_{{e}_{o},{\widehat{{r}^{\prime }}}_{b}}-\\& \mu {\displaystyle \sum _{k=1}^{q}\left[{{\boldsymbol{p}}}_{{r}_{1k},{\widehat{{r}^{\prime }}}_{b}}{\varepsilon }_{1k}(n) + {{\boldsymbol{p}}}_{{r}_{2k},{\widehat{{r}^{\prime }}}_{b}}{\varepsilon }_{2k}(n)\right]}. \end{split} (27) 同理可得窄带滤波器系数误差
{\varepsilon _{1k}}(n) 和{\varepsilon _{2k}}(n) 的均值迭代公式为\begin{split} E\left[ {{\varepsilon _{1k}}(n + 1)} \right] =& \left( {1 - {\mu _k}{p_{{{\widehat r}_{1k}},{r_{1k}}}}} \right)E\left[ {{\varepsilon _{1k}}(n)} \right] - {\mu _k}{p_{{{\widehat r}_{1k}},{r_{2k}}}}E\left[ {{\varepsilon _{2k}}(n)} \right] - \\& {\mu _k}{{\boldsymbol{p}}_{{{\widehat r}_{1k}},{{\widehat r'}_b}}}E[{\boldsymbol{\varepsilon}} (n)],\\[-1pt] \end{split} (28) \begin{split} E\left[ {{\varepsilon _{2k}}(n + 1)} \right] = &\left( {1 - {\mu _k}{p_{{{\widehat r}_{2k}},{r_{2k}}}}} \right)E\left[ {{\varepsilon _{2k}}(n)} \right] - {\mu _k}{p_{{{\widehat r}_{2k}},{r_{1k}}}}E\left[ {{\varepsilon _{1k}}(n)} \right]- \\& {\mu _k}{{\boldsymbol{p}}_{{{\widehat r}_{2k}},{{\widehat r'}_b}}}E[{\boldsymbol{\varepsilon}} (n)].\\[-1pt] \end{split} (29) 式(27)—式(29)描述了SNC在收敛状态时FFHANC系统的均值收敛过程。其中, 导致宽带和窄带滤波器之间产生耦合的项为
{{\boldsymbol{p}}_{{r_{1k}},{{\widehat r'}_b}}} ,{{\boldsymbol{p}}_{{r_{2k}},{{\widehat r'}_b}}} ,{{\boldsymbol{p}}_{{{\widehat r}_{1k}},{{\widehat r'}_b}}} ,{{\boldsymbol{p}}_{{{\widehat r}_{2k}},{{\widehat r'}_b}}} 。由于宽带参考信号中存在残留的窄带噪声, 耦合项不为0。随着式(16)中的{a'_k} 和{b'_k} 逐渐降低, 宽带和窄带控制器之间的相互影响减弱, 直到解耦。耦合导致窄带控制器的收敛速度减慢。式(28)和式(29)中的耦合项{{\boldsymbol{p}}_{{{\widehat r}_{1k}},{{\widehat r'}_b}}} 和{{\boldsymbol{p}}_{{{\widehat r}_{2k}},{{\widehat r'}_b}}} 不为0时, 只有在宽带系数误差E[\varepsilon (n)] 完成收敛后, 窄带滤波器才能达到稳态。然而, 由于NANC算法的特点, 窄带滤波器本来能够以更快地速度达到稳态。此外, 从式(27)—式(29)中可以看到, 减小控制滤波器的更新步长\mu 和{\mu _k} 或提高参考信号分离的速度能够减弱耦合项对滤波器收敛的影响。SNC达到稳态后, 其输出信号在目标频率
{\omega _k} 处的能量极低, 因此可以认为宽带参考信号{x'_b}(n) 中不含任何窄带噪声成分。将此时的宽带参考信号表示为x_b^*(n) 。需要注意的是x_b^*(n) 和初级噪声中的宽带部分x(n) 可能存在差异。这是因为SNC在除去窄带噪声之外, 还可能降低目标频率附近的宽带噪声。尽管如此, 由于x_b^*(n) 与窄带参考信号无关, 通过将式(23)—式(25)和式(27)—式(29)中的{x_b}(n) 用x_b^*(n) 代替并令耦合项为0, 可以直接得到SNC达到稳定状态后的公式。此时系统的最优解和系数误差均值迭代公式除了宽带参考信号被x_b^*(n) 代替之外, 与传统的BANC和NANC系统的完全相同[1,29]。因此, 从均值意义上来说, SNC在稳定状态时, FFHANC系统中的宽带和窄带控制器是相互独立的。2.2 SNC对降噪性能的影响
通过影响控制器滤波器的收敛, SNC会影响FFHANC 系统的瞬态降噪性能。基于前文的分析, 可以将FFHANC系统中控制滤波器的收敛过程分为两个阶段。阶段1: 在有源控制开始的阶段, SNC还未收敛到稳态。由于宽带参考信号
{x'_b}(n) 中存在窄带成分, 宽带和窄带控制器的收敛耦合在一起。此时, 控制器的收敛速度由子系统中收敛速度更慢的一方决定, 通常情况下是宽带子系统。在此过程中, 只要SNC还未达到稳态, 窄带控制器就无法收敛到最优解, 因此窄带噪声不能被很好地消除。阶段2: 随着宽带参考信号中窄带分量的DFC减小, SNC 从收敛状态过渡到稳定状态。当{x'_b}(n) 中的窄带成分足够小以至于可以忽略时, 式(27)—式(29)中的耦合项变为0, 宽带和窄带控制器相互独立地进行收敛。因此, 快速收敛的窄带控制器可以迅速降低复合噪声中的窄带成分。窄带控制器和 SNC 的收敛速度决定了这两个阶段在收敛过程中的占比。窄带控制器的收敛速度比SNC的收敛速度快时, 窄带噪声的收敛过程主要表现为阶段1。相反, 当窄带控制器收敛速度相对较慢时, 阶段2成为主要表现形式。在步长不变的情况下, SNC到达稳态的时间越短, FFHANC系统中窄带噪声的收敛速度越快。需要注意的是, FFHANC系统中包含宽带和窄带两个部分, 因此误差信号总能量的收敛主要取决于复合噪声中能量更强的部分。SNC还会影响FFHANC系统的稳态降噪性能。SNC在除去参考信号中的窄带成分时, 还会降低目标频率附近的宽带噪声。SNC的带宽越大, 稳定后的宽带参考信号
x_b^*(n) 中目标频率附近的宽带成分越弱, 则FFHANC系统的宽带降噪性能越差。而SNC的带宽越窄, 到达稳态所需的时间越长。因此FFHANC系统的收敛速度和稳态降噪性能之间存在矛盾。通过调整SNC的带宽可以在FFHANC系统的宽带和窄带降噪性能之间进行取舍。一方面, 当初级噪声中宽带部分能量较强时, 为了保证目标频率附近的宽带降噪性能, 可以选择小带宽的SNC。此时SNC需要更长时间除去参考信号中的窄带成分。根据上文的分析, 这将减慢FFHANC系统中窄带噪声收敛速度。由于初级噪声中窄带能量占比不大, 因此这种牺牲是可以接受的。另一方面, 当初级噪声中窄带部分能量较高时, 快速降低误差点处的窄带噪声是优先需求。因此需要令参考信号宽带和窄带成分快速分离, 以防止宽带控制器影响窄带控制器的收敛。此时, 牺牲窄带频率附近宽带降噪性能的大带宽SNC是更合适的选择。由于初级噪声能量以窄带部分为主, 这种牺牲也不会对整体的降噪效果产生很大的影响。因此, 在FFHANC系统的应用中, 可以根据初级噪声中宽带和窄带成分能量占比和实际的降噪指标要求, 选择合适的SNC。
3. 计算机仿真与分析
3.1 SNC的瞬态和稳态性能
根据理论分析, SNC的稳定时间和带宽会影响FFHANC系统的降噪性能。本节对比了不同SNC的信号分离能力。只要不发散, 稳定后的IIR陷波器和DFC分析器都能够完全消除输入信号中的窄带成分[24]。图3(a)给出了DFC分析器与IIR陷波器的3 dB带宽和稳定时间随极径
r 变化的情况, 其中DFC分析器的步长通过公式r = 1 - {\mu _{\text{DFC}/2}} 换算成等效极径。不失一般性地, 在本仿真中, 方差为1的高斯白噪声和方差为0.5的正弦信号分别作为复合噪声的宽带和窄带成分。从图3(a)可以看出, 在极径相同时, 两种参考信号分离方法的稳定时间相同。然而, IIR陷波器的信号分离带宽小于DFC分析器, 且极径越小, 差距越明显。与基于IIR陷波器和DFC分析器的SNC不同, 线性预测方法包含滤波器阶数和步长两个参数。众所周知, 迭代步长决定收敛速度, 需要注意的是步长过大会导致稳态误差增加。在线性预测方法中, 线性预测滤波器的阶数是影响分离性能的主要因素。图3(b)显示了带宽和窄带噪声衰减量随着滤波器阶数变化的情况。基于线性预测的SNC需要使用上百阶的滤波器才能实现信号分离, 其计算量远大于另外两种方法。因此, 对于能够识别出窄带噪声频率, 且频率数目较低的情况, 基于线性预测的SNC的信号分离性能比另外两种方法差。
基于分析和仿真结果, 考虑到消耗的计算资源和分离性能, 可认为IIR陷波器是更佳的信号分离方法。对于复合噪声中存在多个频率窄带噪声的情况, 需组合使用多个IIR陷波器单元完成参考信号的分离。当复合噪声包含高斯白噪声和200 Hz, 300 Hz, 400 Hz的窄带噪声时, 图4给出了图2中基于并联和级联IIR陷波器组的SNC的输出信号稳态功率谱密度(PSD)。由图4(a)可见, 当极径
r 较小时, 由于分析中提到的减法误差, 并联性IIR陷波器组的输出信号中还残留大量的窄带噪声。然而, 由于不存在减法环节, 图4(b)中的级联IIR陷波器组的信号分离效果明显更好。因此, 本文提出的基于级联IIR陷波器组的SNC是一种更佳的参考信号分离方法。3.2 SNC对FFHANC系统控制器收敛行为的影响
基于式(27)—式(29), 本节研究SNC对FFHANC系统控制滤波器收敛的影响。初级噪声的宽带部分是方差为1的高斯白噪声, 窄带部分包含方差为0.5的200 Hz, 300 Hz, 400 Hz的余弦信号。仿真中选择的宽带和窄带步长为
\mu = 0.0001 和{\mu _1} = {\mu _2} = {\mu _3} = 0.001 , 以确保滤波器能快速收敛且不会发散。初级通道和次级通道分别为P({\textit{z}}) = 1.5 + {{\textit{z}}^{ - 1}} - 0.7{{\textit{z}}^{ - 2}} ,S({\textit{z}}) = 0.2 + 0.8{{\textit{z}}^{ - 1}} ,\widehat S({\textit{z}}) = 0.4 + 0.9{{\textit{z}}^{ - 1}} 。P({\textit{z}}) 和S({\textit{z}}) 是在文献中多次被使用的通道[8,29,30]。次级通道S({\textit{z}}) 是非最小相位系统, 且不完美建模。鉴于初级和次级通道的阶数较低, 仿真中使用5阶FIR滤波器作为宽带控制器。在仿真中, 所有滤波器的初始值都为0。根据图3和图4, 极径r = 0.999 的级联二阶IIR陷波器组被用作FFHANC系统的SNC以保证参考信号分离的效果。采样率都为16 kHz。参考传声器处的信噪比设置为30 dB。仿真结果都是由500次独立运行的结果取平均获得。简洁起见, 图5给出定义为
\varDelta=\sqrt{\sum_{i=0}^{N-1}\left\{E\left[\epsilon_{t}(n)\right]\right\}^{2}} ,\varDelta_{1}=\sqrt{\sum_{k=1}^{q}\left\{E\left[\varepsilon_{1 k}(n)\right]\right\}^{2}} 和\varDelta_{2}=\sqrt{\sum_{k=1}^{q}\left\{E\left[\varepsilon_{2 k}(n)\right]\right\}^{2}} 的滤波器系数误差均值的二范数。图5(a)(b)(c)展示SNC处于收敛状态, 即信号分离未完成时, FFHANC系统中控制滤波器的收敛行为, 而图5(d)(e)(f)中SNC已完全除去了参考信号中的窄带成分。图5显示, 基于式(27)—式(29)预测的学习曲线与仿真结果吻合得很好。对比图5(a)(b)(c)和图5 (d)(e)(f)可见, SNC的状态主要影响窄带控制器的收敛。根据式(27), 宽带噪声能量较强时耦合项的影响相对较弱, 因此图5(a)和图5(d)中SNC处于收敛状态和稳定状态下的宽带系数误差收敛曲线几乎相同。由图5(a)和图5 (c)可见, 参考信号分离未完成时, 窄带滤波器的收敛受到宽带滤波器的制约。在30000次迭代后, 宽带曲线趋近于0时, 窄带滤波器的系数误差才能逐渐收敛。而图5(f)则显示SNC处于稳定状态时, 窄带控制器独立于宽带控制器快速收敛。因此, 如果FFHANC系统中SNC的收敛速度太慢, 会导致窄带滤波器收敛速度减慢, 从而影响窄带降噪效果。图5所示耦合与解耦现象与本文的分析吻合。![]()
图 5 SNC处于不同状态下控制滤波器系数误差的均值收敛曲线 (a)(b)(c) SNC处于收敛状态下的{{\varDelta }} ,{{{\varDelta }}_1} ,{{{\varDelta }}_2} ; (d)(e)(f) SNC处于稳定状态下的{{\varDelta }} ,{{{\varDelta }}_1} ,{{{\varDelta }}_2} 3.3 SNC对FFHANC系统降噪性能的影响
本节研究SNC对FFHANC系统瞬态和稳态性能的影响。为了模拟真实的情况, 本仿真中使用了真实管道中测量的初级和次级通道, 如图6所示。图6(c)中的估计次级通道是由真实次级通道在80阶截断形成的, 用于模拟次级通道存在建模误差的情况。本仿真中的宽带滤波器阶数为100阶。在仿真中测试了不同的SNC。复合噪声由方差为1的高斯白噪声和余弦信号组成, 100 Hz, 200 Hz, 300 Hz的余弦信号的方差分别为1.125, 0.5, 0.125。由于通道的幅度响应较大, 为了在不发散的前提下提高滤波器的收敛速度, 使用试错法确定了宽带步长
\mu = 0.00001 和窄带步长{\mu _1} = {\mu _2} = {\mu _3} = 0.0001 。为了展示FFHANC系统的整体和窄带降噪性能, 图7(a)和图7(b)分别给出了使用不同
r 的级联二阶IIR陷波器作为SNC时, 误差信号的MSE和100 Hz处PSD随时间变化的曲线。图7中r = 0.9 和r = 0.99 的曲线在收敛阶段几乎是重合的。这是因为r 较小时, SNC在极短的时间内达到稳定状态, 如图3(a)所示。SNC稳定后, 控制器滤波器之间相互独立, 相同的步长导致了相同的收敛速度。r = 0.999 和r = 0.9999 的曲线在收敛初期下降速度很快是因为SNC达到稳态前, 宽带控制器和窄带控制器共同控制窄带噪声, 相当于增大了迭代步长从而提高收敛速度。然而,
r = 0.999 和r = 0.9999 的曲线在收敛过程中有明显的抬升。根据图5(c)中相似的现象, 这是因为SNC处于收敛状态时, 控制器之间的耦合导致窄带控制器向逆梯度方向收敛。根据图3(a), 极径r 与稳定时间成正比。因此, 图7(b)中r = 0.9999 的PSD曲线在0.5 ~ 2.5 s内高于其余曲线。此外, 对比图7(a)和图7(b)可见, SNC对误差信号总能量的影响没有对窄带能量的影响明显。这是由于8000 Hz以下的频率范围内, 复合噪声中窄带噪声的能量占比仅为22.8%。如图5(a)(d)所示, 相似的宽带滤波器收敛曲线导致了图7(a)中相似的MSE曲线。除了瞬态性能之外, SNC还会影响FFHANC系统的稳态性能。图8是同一仿真中误差信号的稳态PSD。各系统的总降噪量和窄带降噪量如表2所示。在图8中, 由于SNC的带宽过大,
r = 0.9 时400 Hz以下的宽带噪声没有降低。随着SNC带宽的减小, 目标频率附近的宽带降噪效果提升。各系统都能很好地降低窄带噪声, 其中r = 0.9999 时稳态窄带降噪量最高。总而言之, FFHANC系统中SNC的带宽越小, 稳态降噪性能越好。然而, 如表2所示, 较小的带宽会增加 SNC 的收敛时间, 从而减慢FFHANC系统的收敛速度。表 2 SNC不同的FFHANC系统的降噪量SNC收敛时间(采样点) 总降噪量(dB) 100 Hz处
降噪量(dB)200 Hz处
降噪量(dB)300 Hz处
降噪量(dB)r = 0.9 328 11.6 44.9 45.6 39.5 r = 0.99 2776 11.9 45.1 45.6 39.5 r = 0.999 27420 12.0 45.6 46.0 40.0 r = 0.9999 271115 12.0 51.5 50.1 47.5 以上分析表明SNC直接影响FFHANC系统的瞬态和稳态降噪性能。图9显示了使用级联IIR陷波器组, 并联IIR陷波器组, 和DFC分析器分别作为SNC的FFHANC系统的降噪效果。极径和等效极径均为
0.99 。由于线性预测方法与其他方法的性能差距较大, 在此不做讨论。仿真中初级噪声的宽带部分为1000 Hz以下高斯白噪声。初级噪声的窄带部分包含150 Hz, 200 Hz, 350 Hz, 420 Hz的余弦信号。方差分别为1.125, 1.125, 0.5, 0.5, 其余参数与上文仿真中相同。图9(a)和图9(b)分别给出了误差信号的MSE和200 Hz处PSD的收敛曲线, 以展示宽带和窄带降噪效果的变化。从图9(a)可以发现, 使用DFC分析器的FFHANC系统有最差的降噪性能。根据前文的分析, 这是由于DFC分析器的大带宽导致的宽带降噪量降低。复合噪声中窄带噪声频率附近宽带噪声能量占比越大, 降噪量差距越明显。使用提出的级联IIR陷波器组作为SNC的系统表现出高降噪量和快收敛率。仿真与分析结果表明了所提SNC的优越性。4. 实验及结果分析
实验在图10(a)所示的空气管道ANC系统中进行。系统的最左端为产生初级噪声的初级噪声源, 最右端为有源无源复合消声器, 两者之间用一个长500 mm的圆柱形钢制管道相连。管道系统内径均为100 mm, 对应的管内截止频率为
f_c = 1.84c_0/ (2\pi a) \approx 1992 \; \text{Hz} 。在有源噪声控制研究的低频范围内, 可以认为管道内传播的初级噪声为平面波。有源无源复合消声器内径为100 mm, 外径为300 mm, 其内部结构如图10(b)所示, 消声器内壁为穿孔结构, 内部填充了吸声材料以实现无源降噪。参考传声器、次级声源和误差传声器的位置如图10(b)所示, 参考和误差传声器为电容式驻极体传声器, 初级和次级声源是惠威M4N扬声器单元。有源噪声控制的信号处理是基于TI公司的TMS32C6747核心实现的。声反馈问题使用反馈中和法解决。实验中使用的FFHANC系统如图1所示, SNC的结构为图2(b)所示的级联二阶IIR陷波器组。实验还测试了 BANC 和 NANC 系统以进行对比。实验系统的次级通道和反馈通道都使用离线的建模方法获得, 其中次级通道与3.3节中的相同, 而反馈通道的阶数是300阶。实验系统声学通道的频率响应如图11所示。宽带控制滤波器的长度为400。在本实验中, 窄带噪声的频率是170 Hz 和260 Hz, 宽带噪声为高斯白噪声。通过预实验确定的宽带步长和窄带步长分别为
\mu = 0.0001 ,{\mu _1} = {\mu _2} = 0.0007 。图12展示了各ANC系统误差信号MSE的收敛曲线。由于选择了合适的步长, 各ANC系统的收敛速度几乎相同。从图12可以看到, SNC带宽最宽的
r = 0.9 的FFHANC系统收敛速度略微快于其余系统。在NANC系统达到稳态后, 其余系统的MSE曲线由于宽带噪声的降低而继续下降。r = 0.999 的FFHANC系统与BANC系统的稳态降噪量最大。图13的稳态PSD可以帮助进一步分析各系统的稳态降噪性能。很明显BANC系统的窄带降噪效果最差。从局部放大图中可以看到, FFHANC系统和NANC系统在260 Hz处的窄带降噪量比BANC系统高约15 dB。在宽带降噪效果方面, NANC系统无法控制宽带噪声。由于SNC的带宽过宽,r = 0.9 的FFHANC系统在窄带频率附近的宽带降噪效果不好。因此, 如3.2节的分析, 通过牺牲收敛速度, 使用较大极径SNC的FFHANC系统有最佳的降噪性能。根据本文理论选择合适的SNC, 可以充分发挥FFHANC系统在控制宽窄带复合噪声方面的潜力。5. 结论
本工作详细研究了混合前馈有源噪声控制系统中的正弦噪声抵消器, 讨论了现有正弦噪声抵消器的特点, 并提出了一种基于级联IIR陷波器组的正弦噪声抵消器。利用推导的系数误差均值迭代方程, 研究了正弦噪声抵消器导致的耦合与解耦对混合前馈有源噪声控制系统中控制滤波器收敛的影响, 并进一步分析了系统的降噪性能。正弦噪声抵消器的稳定时间直接影响混合前馈有源噪声控制系统的瞬态性能。当正弦噪声抵消器达到稳定的速度比窄带控制器的收敛速度慢时, 可能会导致窄带噪声在收敛过程中增强。此外, 正弦噪声抵消器的带宽过宽会导致窄带噪声附近的宽带降噪效果不佳。正弦噪声抵消器的收敛速度和带宽之间的矛盾, 导致需要在混合前馈有源噪声控制系统的宽带和窄带性能之间进行取舍。本工作有助于解决混合前馈有源噪声控制系统实际应用中遇到的正弦噪声抵消器设计问题, 以发挥混合前馈有源噪声控制系统在控制复合噪声方面的优势。本文理论部分主要关注系统均值收敛行为, 未来可进一步研究均方收敛行为。
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图 5 SNC处于不同状态下控制滤波器系数误差的均值收敛曲线 (a)(b)(c) SNC处于收敛状态下的
{{\varDelta }} ,{{{\varDelta }}_1} ,{{{\varDelta }}_2} ; (d)(e)(f) SNC处于稳定状态下的{{\varDelta }} ,{{{\varDelta }}_1} ,{{{\varDelta }}_2} 表 1 式(19)中符号的定义
符号 定义 {{\boldsymbol{R}}_{{{r'}_b},{{r'}_b}}} {{\boldsymbol{r}}'_b}(n) 的自相关矩阵 {{\boldsymbol{p}}_{d,{{r'}_b}}} {{\boldsymbol{r}}'_b}(n) 和 d(n) 互相关向量 {{\boldsymbol{p}}_{{r_{1k}},{{r'}_b}}} {{\boldsymbol{r}}'_b}(n) 和 {{{r}}_{1k}}(n) 互相关向量 {{\boldsymbol{p}}_{{r_{2k}}{{r'}_b}}} {{\boldsymbol{r}}'_b}(n) 和 {{{r}}_{2k}}(n) 互相关向量 {p_{d,{r_{1k}}}} d(n) 和 {r_{1k}}(n) 互相关 {p_{d,{r_{2k}}}} d(n) 和 {r_{2k}}(n) 互相关 {R_{{r_{1k}},{r_{1k}}}} {r_{1k}}(n) 的自相关系数 {R_{{r_{2k}},{r_{2k}}}} {r_{2k}}(n) 的自相关系数 
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表 2 SNC不同的FFHANC系统的降噪量
SNC收敛时间(采样点) 总降噪量(dB) 100 Hz处
降噪量(dB)200 Hz处
降噪量(dB)300 Hz处
降噪量(dB)r = 0.9 328 11.6 44.9 45.6 39.5 r = 0.99 2776 11.9 45.1 45.6 39.5 r = 0.999 27420 12.0 45.6 46.0 40.0 r = 0.9999 271115 12.0 51.5 50.1 47.5
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